Serie di composizione di $M_2(\mathbb{R})$ come $A$-modulo su se stesso
Sia $A = M_2(\mathbb{R})$ e consideriamo $A$ come $A$-modulo regolare. Dimostrare che $A$ ha infinite serie di composizione.
I sottomoduli di $A$ come $A$-modulo regolare sono gli ideali sinistri di $A$, che in questo caso sono isomorfi a $I = { ((0,a),(0,b)) | a, b \in \mathbb{R} }$. Pertanto, una serie di composizione di $A$ è della forma ${0} \subset I \subset A$. Ora, moltiplicando $I$ per i cambi di base, posso trovare infiniti ideali sinistri di $A$ (dato che siamo su $\mathbb{R}$), e quindi infinite serie di composizione. Va bene così?
I sottomoduli di $A$ come $A$-modulo regolare sono gli ideali sinistri di $A$, che in questo caso sono isomorfi a $I = { ((0,a),(0,b)) | a, b \in \mathbb{R} }$. Pertanto, una serie di composizione di $A$ è della forma ${0} \subset I \subset A$. Ora, moltiplicando $I$ per i cambi di base, posso trovare infiniti ideali sinistri di $A$ (dato che siamo su $\mathbb{R}$), e quindi infinite serie di composizione. Va bene così?
Risposte
Non va bene, devi esibire infinite serie di composizione.
"Martino":
Non va bene, devi esibire infinite serie di composizione.
Eh, prendo una qualunque matrice invertibile $H$ (ne esistono infinite), e quindi ho che $ {0} \subset H^-1 I H \subset A $ è una serie di composizione al variare di $H$ che posso sceglierne infinite di tali $H$ e quindi di conseguenza ottengo infinite serie di composizione.
Il fatto che gli ideali della forma $H^(-1) I H$ sono infiniti va dimostrato.
"Martino":
Il fatto che gli ideali della forma $H^(-1) I H$ sono infiniti va dimostrato.
Beh $GL_2(RR)$ ha cardinalità infinita, io prendo $H$ proprio da $GL_2(RR)$ (ricordando che ogni ideale sinistro di $M_2(RR)$ è appunto isomorfo a $I$ tramite un $H in GL_2(RR)$). Non so se intendevi dire invece che bisogna mostrare che $AA H in GL_2(RR)$ si ha che $H^-1 I H$ è un ideale sinistro di $M_2(RR)$
Ma scusa, ti ripeto che il fatto che gli ideali della forma $H^(-1) I H$ sono infiniti va dimostrato. Non basta dire che gli $H$ sono infiniti. Capisci la differenza? È proprio logicamente sbagliato. Devi esibire infiniti ideali della forma $H^(-1) I H$.
Se provi a dimostrare che sono infiniti ti accorgerai che non è ovvio.
Il fatto che sono ideali andrebbe dimostrato anche quello, ma è facile.
Se provi a dimostrare che sono infiniti ti accorgerai che non è ovvio.
Il fatto che sono ideali andrebbe dimostrato anche quello, ma è facile.
Ah si scusami ho capito, intendi dire che prese $H,K in GL_2(RR)$ in che casi si ha $H^-1IH=K^-1IK$, ovvero quando $KH^-1IHK^-1=I$ e mi sa che viene che $HK^-1=((a_11,a_12),(0,a_22))$ con $a_11!=0,a_22!=0$ e quindi se ad esempio scelgo $H,K in GL_2(RR)$ in modo tale che $a_21!=0$ si ha $H^-1IH!=K^-1IK$ e di tali $H$ ne posso scegliere infinite.
L'idea è giusta ma quando si fa matematica di solito si cerca di essere più precisi di così. Per esempio potresti osservare che definendo $H_x = ((1,0),(x,1))$ la matrice $H_x^(-1) H_y = ((1,0),(y-x,1))$ è triangolare superiore se e solo se $x=y$, e quindi gli ideali $H_x^(-1) I H_x$ sono due a due distinti.
Ok, grazie mille.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo