Serie Centrale Superiore di un gruppo

[Rodolfo Medina]

Salve a tutti. In teoria dei gruppi, dato un generico gruppo $G$, la sua Serie Centrale Superiore è definita mediante le posizioni: $Z_0(G) = \{1\}$ e ${Z_{n + 1}(G)}/{Z_n(G)} = Z(G / {Z_n(G)})$. le trattazioni che ho letto sull'argomento danno come evidente la condizione $Z_n(G) \subseteq Z_{n + 1}(G)$ per ogni $n \in \N_0$, ma a veramente sembra tutt'altro che ovvia. Qualcuno sa dimostrare o può indicare un testo che dimostri quella condizione? Grazie! Rodolfo

[vict85]

Quella la vedo più come una proprietà piuttosto che una definizione. Una definizione più semplice è questa: \(Z_{i+1} = \{ g\in G : \forall y\in G,\, [y,g]\in Z_{i} \}\). Quindi \(Z_1 = Z(G)\) ovvero è il centro di \(G\). Da questa definizione si vede subito che \(Z_i\subset Z_{i+1}\) (lo puoi dimostrare per induzione).

[Studente Anonimo]

Semplicemente scrivi [tex]Z(G/Z_n(G))[/tex] nella forma [tex]H/Z_n(G)[/tex] per un opportuno $H$ che contiene $Z_n(G)$ (tutti i sottogruppi del quoziente sono di questa forma) e definisci $Z_{n+1}(G) = H$.

[Rodolfo Medina]

Ma certo, Martino, $Z_n(G)$ è incluso in $Z_{n + 1}(G)$ semplicemente per definizione! vict85, alcune trattazioni danno la tua come definizione, altre invece danno la mia. Grazie a entrambi. Rodolfo