Sequenze esatte di moduli
Ciao!
Ho una domanda...
mi viene chiesto di dimostrare che una sequenza di $A$-moduli (dove $A$ é un anello commutativo unitario)
$0 rightarrow N_1 rightarrow N rightarrow N_2$ é esatta.
ma davvero lo é senza nessuna altra ipotesi? non riesco a capire..
Ho una domanda...
mi viene chiesto di dimostrare che una sequenza di $A$-moduli (dove $A$ é un anello commutativo unitario)
$0 rightarrow N_1 rightarrow N rightarrow N_2$ é esatta.
ma davvero lo é senza nessuna altra ipotesi? non riesco a capire..
Risposte
Non tutte le sequenze di moduli sono esatte (altrimenti la definizione di sequenza esatta sarebbe quantomeno ridondante). Potresti riportare il testo della richiesta, o controllare meglio?
Il testo é il seguente:
Dato un anello unitario e commutativo $A$, dimostrare che la sequenza di $A$-moduli $0 rightarrow N_1 rightarrow N rightarrow N_1$ é esatta.
Dato un anello unitario e commutativo $A$, dimostrare che la sequenza di $A$-moduli $0 rightarrow N_1 rightarrow N rightarrow N_1$ é esatta.
scusa... la sequenza é con $N_2$ come avevo scritto la prima volta
Quello che dice il testo è falso: basta scegliere $A=N_1=N=N_2=ZZ$ e come morfismi l'identità, ed ottieni una sequenza non esatta.
Sei sicuro che sia quello il testo? Come mai non definisce $N,N_1,N_2$?
Sei sicuro che sia quello il testo? Come mai non definisce $N,N_1,N_2$?
É quello che mi chiedevo esattamente io.. il testo é proprio quello e non riesco a capire che senso abbia!!!! non dá informazione riguardo i moduli!
Prova a controllare che non sia parte di un esercizio più "grande", in cui i moduli in questione vengano almeno definiti (in un esercizio non si possono chiedere proprietà su degli oggetti senza dar loro una benché minima caratterizzazione).
Ho chiesto al professore, che mi ha comunicato che c'era un errore nel testo. ora è tutto chiaro! Anche se avrei bisogno di ancora un po' di aiuto:
devo trovare un controesempio alla seguente cosa:
$0 rightarrow N_1 rightarrow N$ esatta implica $Hom_A(N,M) rightarrow Hom_A(N_1, M) rightarrow 0$ esatta per ogni $A$-modulo, con $N,N_1$ $A$-moduli, mi sapresti dare una mano?
devo trovare un controesempio alla seguente cosa:
$0 rightarrow N_1 rightarrow N$ esatta implica $Hom_A(N,M) rightarrow Hom_A(N_1, M) rightarrow 0$ esatta per ogni $A$-modulo, con $N,N_1$ $A$-moduli, mi sapresti dare una mano?
Premetto che dire che $0 to N_1 to N$ è esatta significa dire che $N_1 to N$ è iniettiva, e dire che $Hom_A(N,M) to Hom_A(N_1,M) to 0$ è esatta significa dire che $Hom_A(N,M) to Hom_A(N_1,M)$ è suriettiva.
Devi quindi trovare una iniezione $N_1 to N$ tale che non tutti i morfismi $N_1 to M$ provengano da qualche $N to M$. Prendi $A=N_1=M=ZZ$, $N=QQ$. Prendi come morfismo $N_1 to N$ l'inclusione di $ZZ$ in $QQ$. Prendi come morfismo $N_1 to M$ l'identità di $ZZ$. Ti basta mostrare che non esistono morfismi $N to M$, ovvero $QQ to ZZ$, $ZZ$-lineari che ristretti a $ZZ$ siano l'identità (cioè tali che il morfismo $N_1 to N to M$ sia l'identità di $ZZ$).
Se esistesse un tale morfismo, chiamalo $f:QQ to ZZ$, allora $2=f(2)=f(3*2/3)=3*f(2/3)$, assurdo perché 3 non divide 2 in $ZZ$.
Devi quindi trovare una iniezione $N_1 to N$ tale che non tutti i morfismi $N_1 to M$ provengano da qualche $N to M$. Prendi $A=N_1=M=ZZ$, $N=QQ$. Prendi come morfismo $N_1 to N$ l'inclusione di $ZZ$ in $QQ$. Prendi come morfismo $N_1 to M$ l'identità di $ZZ$. Ti basta mostrare che non esistono morfismi $N to M$, ovvero $QQ to ZZ$, $ZZ$-lineari che ristretti a $ZZ$ siano l'identità (cioè tali che il morfismo $N_1 to N to M$ sia l'identità di $ZZ$).
Se esistesse un tale morfismo, chiamalo $f:QQ to ZZ$, allora $2=f(2)=f(3*2/3)=3*f(2/3)$, assurdo perché 3 non divide 2 in $ZZ$.
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