Sequenza illimitata?
Sia $P(n)$ il prodotto di tutte le cifre decimali di un intero positivo $n$. Può la sequenza $n_k$ definita da $n_{k+1}=n_k+P(n_k)$, con termine iniziale $n_1 \in NN$, non essere limitata per qualche $n_1$?
Risposte
Cioe' in altri termini e' possibile trovare $n_1$ in modo che, per ogni $k$, $n_k$ non sia multiplo di 10?
Se non sbaglio "non essere multiplo di $10$" è condizione necessaria, ma non sufficiente. Per ogni $n_k$ la sua rappresentazione decimale non deve contenere zeri. Non solo non averli in coda. Credo di avere una dimostrazione che ciò non è possibile e quindi che ogni sequenza è limitata. La scriverò appena possibile, anche se temo che questo voglia dire non prima della settimana prossima 
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Beh, mi viene definitivamente costante per molti valori di $n_k$.
Sicuramente è tale se $n_k$ per qualche k contiene qualche 0 nella sua rappresentazione decimale.
Ora, sperimentalmente, ho trovato, per $n_1=1$ i valori 2,4,8,16,22,26,38,62,74,102 contenente uno zero.
Inutile ripetere il discorso per un termine già comparso come 2.
Per $n_1=3$ ottengo 3,6,12,15,20 contenente uno zero.
Per $n_1=5$ ottengo 5,10.
Per $n_1=7$ ottengo 7,14,18,26 e rientra nella successione di $n_1=1$ quindi tende a 102.
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Per ora di più non so dire ma è interessante il problema, come il chiedersi quali sono i possibili limiti a partire da valori iniziali non contenenti lo 0.
Magari si può tentare con la forza bruta del calcolatore...
Sicuramente è tale se $n_k$ per qualche k contiene qualche 0 nella sua rappresentazione decimale.
Ora, sperimentalmente, ho trovato, per $n_1=1$ i valori 2,4,8,16,22,26,38,62,74,102 contenente uno zero.
Inutile ripetere il discorso per un termine già comparso come 2.
Per $n_1=3$ ottengo 3,6,12,15,20 contenente uno zero.
Per $n_1=5$ ottengo 5,10.
Per $n_1=7$ ottengo 7,14,18,26 e rientra nella successione di $n_1=1$ quindi tende a 102.
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Per ora di più non so dire ma è interessante il problema, come il chiedersi quali sono i possibili limiti a partire da valori iniziali non contenenti lo 0.
Magari si può tentare con la forza bruta del calcolatore...
No, la forza bruta e la via sperimentale non aiutano molto in questo problema. Poi non sono neanche belle.
Piccolo aiuto: le sequenze sono limitate per tutti gli $n_1 \in NN$, come dice Levacci.
Piccolo aiuto: le sequenze sono limitate per tutti gli $n_1 \in NN$, come dice Levacci.
Ah, lo sospettavo... Tenterò ancora (anche se non credo di saperne a sufficienza sulla teoria dei numeri...)
Però sapresti dire a quali limiti converge se $n_1$ non contiene zeri tra le sue cifre decimali?
Però sapresti dire a quali limiti converge se $n_1$ non contiene zeri tra le sue cifre decimali?
Trovo un ritaglio di tempo prima del tempo e propongo questa dimostrazione.
Tutte le sequenze sono ovviamente monotone crescenti. Supponiamo che la sequenza $n_k$ lo sia strettamente e che quindi sia illimitata. Sia $n_(i-1)$ l'ultimo numero di $t$ cifre della sequenza, deve essere $n_(i-1)<=9sum_(j=0)^(t-1) 10^j$ e $n_i<=9sum_(j=0)^(t-1) 10^j+9^t$ (1). Chiamamo $b$ il minimo numero di $t+1$ cifre che non contiene zeri, ovvero $sum_(j=0)^(t) 10^j$. Si tratta di far vedere che esiste un indice $i$ per il quale si ottiene $n_i<=b$, in questo modo $n_i$ è un numero di $t+1$ cifre che contiene almeno uno zero e quindi interrompe la sequenza. Con pochi passaggi a partire dalla (1) abbiamo $9^t<=sum_(j=0)^(t-1) 10^j-1$, ne segue $9^t<= (10^t-1)/9 -1$, $9^(t+1)<=10^t-10$. L'esistenza di un $t$ a partire del quale vale la disuguaglianza è assicurato dal fatto che $lim_(t to +oo) (10^t)/(9^(t+1))=+oo$. Temo granchi, cantonate e simili.
Proprio in questi giorni esce una Storia della bruttezza, scritta da Umberto Eco. Spero che questa dimostrazione, o presunta tale, ne sia un capitolo minore
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Tutte le sequenze sono ovviamente monotone crescenti. Supponiamo che la sequenza $n_k$ lo sia strettamente e che quindi sia illimitata. Sia $n_(i-1)$ l'ultimo numero di $t$ cifre della sequenza, deve essere $n_(i-1)<=9sum_(j=0)^(t-1) 10^j$ e $n_i<=9sum_(j=0)^(t-1) 10^j+9^t$ (1). Chiamamo $b$ il minimo numero di $t+1$ cifre che non contiene zeri, ovvero $sum_(j=0)^(t) 10^j$. Si tratta di far vedere che esiste un indice $i$ per il quale si ottiene $n_i<=b$, in questo modo $n_i$ è un numero di $t+1$ cifre che contiene almeno uno zero e quindi interrompe la sequenza. Con pochi passaggi a partire dalla (1) abbiamo $9^t<=sum_(j=0)^(t-1) 10^j-1$, ne segue $9^t<= (10^t-1)/9 -1$, $9^(t+1)<=10^t-10$. L'esistenza di un $t$ a partire del quale vale la disuguaglianza è assicurato dal fatto che $lim_(t to +oo) (10^t)/(9^(t+1))=+oo$. Temo granchi, cantonate e simili.
Proprio in questi giorni esce una Storia della bruttezza, scritta da Umberto Eco. Spero che questa dimostrazione, o presunta tale, ne sia un capitolo minore
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"Levacci":
... in questo modo $n_i$ è un numero di $t$ cifre che contiene almeno uno zero e quindi interrompe la sequenza.
Intendevi che in questo modo è un numero di $t+1$ cifre?
Sì, $t+1$. Ho editato. Che ne dici Tom? Funziona?
Sì sì, funziona. Potresti magari rendere più esplicito il ragionamento finale (con i passaggi), che a prima vista sembra leggermente oscuro?
ps: non ha niente a che vedere con la Bruttezza questa dimostrazione, complimenti.
ps: non ha niente a che vedere con la Bruttezza questa dimostrazione, complimenti.
Non ho letto attentamente la dimostrazione di Levacci (magari provo a farla) è certo che è davvero geniale come problema complimenti a chi lo ha inventato!
Ok l'ho letta meglio... nemmeno a me l'ultima parte non è chiara, perché non provi a scrivere tutti i passaggi?
Chiedo perdono per l'ermetismo, vediamo se riesco a rimediare.
La formula (1) era $n_i<=9sum_(j=0)^(t-1) 10^j+9^t$. Cerco un indice per il quale risulti $9sum_(j=0)^(t-1) 10^j+9^t<=sum_(j=0)^t 10^j$ (il numero che avevo chiamato $b$) ovvero $9^t<=sum_(j=0)^t 10^j - 9sum_(j=0)^(t-1) 10^j$. Si verifica facilmente che RHS è uguale a $sum_(j=0)^(t-1) 10^j -1$. Il resto della dimostrazione sta poco sopra.
Mi unisco a zorn nel fare i complimenti a tom per il problema.
La formula (1) era $n_i<=9sum_(j=0)^(t-1) 10^j+9^t$. Cerco un indice per il quale risulti $9sum_(j=0)^(t-1) 10^j+9^t<=sum_(j=0)^t 10^j$ (il numero che avevo chiamato $b$) ovvero $9^t<=sum_(j=0)^t 10^j - 9sum_(j=0)^(t-1) 10^j$. Si verifica facilmente che RHS è uguale a $sum_(j=0)^(t-1) 10^j -1$. Il resto della dimostrazione sta poco sopra.
Mi unisco a zorn nel fare i complimenti a tom per il problema.
Ok, mi permetto di fornire una mia versione.
Nelle tue ipotesi e posizioni, Levacci:
$n_(j-1)<=10^t-1
inoltre $b=(10^(t+1)-1)/9$ (minimo numero di t cifre privo di zeri nello sviluppo decimale = $11...1$ t volte)
Ora, se per assurdo $AA j in NN, n_j>=b$ ottengo, a maggior ragione per (2):
$10^t-1+9^t>=(10^(t+1)-1)/9, AA t in NN$
da cui:
$1>=lim_(t to +oo) (10^(t+1)-1)/(9(10^t-1+9^t)) = +oo$ come si deduce dagli ordini di infinito, un chiaro assurdo!
Nelle tue ipotesi e posizioni, Levacci:
$n_(j-1)<=10^t-1
inoltre $b=(10^(t+1)-1)/9$ (minimo numero di t cifre privo di zeri nello sviluppo decimale = $11...1$ t volte)
Ora, se per assurdo $AA j in NN, n_j>=b$ ottengo, a maggior ragione per (2):
$10^t-1+9^t>=(10^(t+1)-1)/9, AA t in NN$
da cui:
$1>=lim_(t to +oo) (10^(t+1)-1)/(9(10^t-1+9^t)) = +oo$ come si deduce dagli ordini di infinito, un chiaro assurdo!
Piaciuta la mia versione? Con un po' di aiuto ci sn arrivato 
Ulteriore osservazione:
L'argomento del limite dà pure una stima superiore del numero di cifre possibili che la successione può raggiungere. Pertanto le successioni sono pure equilimitate.
Infatti si deduce dal ragionamento visto che un numero della successione non può avere più di $t$ cifre se $(10^(t+1)-1)/(9*(10^t-1+9^t))>1$. Ma ciò accade $AA t>=21$, quindi un elemento della successione può avere fino a 20 cifre.
Allora le successioni sono tutte limitate dalla costante $10^21$.
L'argomento del limite dà pure una stima superiore del numero di cifre possibili che la successione può raggiungere. Pertanto le successioni sono pure equilimitate.
Infatti si deduce dal ragionamento visto che un numero della successione non può avere più di $t$ cifre se $(10^(t+1)-1)/(9*(10^t-1+9^t))>1$. Ma ciò accade $AA t>=21$, quindi un elemento della successione può avere fino a 20 cifre.
Allora le successioni sono tutte limitate dalla costante $10^21$.
Non ho capito perché dici "se per assurdo $\forall j\in NN, n_j \ge b$ 
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TomSawyer per questo ho semplicemente seguito le orme della dimostrazione di Levacci:
Si tratta di far vedere che esiste un indice i per il quale si ottiene $n_i≤b$, in questo modo $ni$ è un numero di t+1 cifre che contiene almeno uno zero e quindi interrompe la sequenza.
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L'ho dimostrato per assurdo. Ti pare?
Si tratta di far vedere che esiste un indice i per il quale si ottiene $n_i≤b$, in questo modo $ni$ è un numero di t+1 cifre che contiene almeno uno zero e quindi interrompe la sequenza.
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L'ho dimostrato per assurdo. Ti pare?
Si', ma non puoi partire da quell'assurdo, ma "per ogni $j$ maggiore di quell'indice $k$ tale che $n_k$ sia il massimo elemento della sequenza di $t$ cifre..
ps: l'esercizio non e' mio, ovviamente; e la soluzione di cui dispongo e' concettualmente simile a quella di Levacci.
ps: l'esercizio non e' mio, ovviamente; e la soluzione di cui dispongo e' concettualmente simile a quella di Levacci.
Beh, ho pensato di far vedere (con tutte le critiche del caso degli intuizionisti) che il non esistere di un indice j porta a una contraddizione. Se tu invece sei stato costruttivo meglio. A ogni modo stanno venendo dubbi pure a me sulla dimostrazione.
In particolare non si può dedurre l'equilimitatezza... infatti posso partire da qualsiasi $n_1$ e rimanere almeno costante.
No, hai ragione TomSawyer, qualcosa non quadra nella dimostrazione.
Pensandoci $b=(10^t-1)/9$ non $b=(10^(t+1)-1)/9$. E questo inficia la dimostrazione perché il limite non è infinito così ma zero.
No, hai ragione TomSawyer, qualcosa non quadra nella dimostrazione.
Pensandoci $b=(10^t-1)/9$ non $b=(10^(t+1)-1)/9$. E questo inficia la dimostrazione perché il limite non è infinito così ma zero.
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