Separabilità estensione di campi serie di potenze
Siano $A=F_p[[x^p]]$ e $B=F_p[[x]]$ anelli di serie di potenze e siano $K$ ed $L$ i rispettivi campi di quozienti.
L'estensione $L|K$ è separabile?
Secondo me no, perché l'elemento $x\in L$ è puramente inseparabile su $K$ essendo $x^p\in K$ e $x\notin K$.
Si veda anche qui.
L'estensione $L|K$ è separabile?
Secondo me no, perché l'elemento $x\in L$ è puramente inseparabile su $K$ essendo $x^p\in K$ e $x\notin K$.
Si veda anche qui.
Risposte
Il polinomio minimo di $x^p$, visto come elemento di $L$ in $K[T]$, e' $P(T)=T^p-x^p$. Ora $P'(T)=0$ perche' siamo in char p quindi l'estensione non e' separabile. Equivalentemente considera il modulo dei differenziali di Kahler $\Omega_{L/K}$. Questo e' generato dai simboli $dl,l\in L$ con le proprieta' che $d$ sia una derivazione e $dk=0$ se $k\in K$. L'estensione e' separabile se questo modulo e' zero (geometricamente non hai "extra" derivate). Ora in questo modulo $dx$ non soddisfa ad alcuna relazione per cui hai che $dim_K \Omega_{L/K}\geq 1$ da cui la non separabilita'
Ok, dunque non rappresenta un contro-esempio alla seguente domanda:
Sia $A$ un anello di Dedekind integralmente chiuso nel suo campo dei quozienti $K$; sia $L$ un'estensione finita e di Galois di $K$ e $B$ la chiusu ra intera di $A$ in $L$.
Sia $p$ un ideale primo di $A$ e $P$ un ideale primo di $B$ sopra $p$.
Il campo residuo $B/P$ è separabile su $A/p$?
Sia $A$ un anello di Dedekind integralmente chiuso nel suo campo dei quozienti $K$; sia $L$ un'estensione finita e di Galois di $K$ e $B$ la chiusu ra intera di $A$ in $L$.
Sia $p$ un ideale primo di $A$ e $P$ un ideale primo di $B$ sopra $p$.
Il campo residuo $B/P$ è separabile su $A/p$?
Chiariscimi dei dubbi: $A,B$ sono domini di Dedekind perche' sono anelli di valutazione discreta, giusto? la mappa $A\rightarrow B$ corrisponde all'inclusione
$X=F_p[[z]] \rightarrow Y=F_p[[w,z]]/(z-w^p)=F_p[[w]]$, geometricamente hai un rivestimento $p$-esimo della retta affine. La chiusura integrale di $X$ in $F_p((w))$ dovrebbe essere $F_p((w^p))$ giusto?
Se prendi come primo il punto generico (l'origine in entrambi i casi) hai che la mappa e' ramificata con indice di ramificazione uguale alla caratteristica del campo per cui non separable e mi sembra un controesempio, cosa c'e' di sbagliato?
$X=F_p[[z]] \rightarrow Y=F_p[[w,z]]/(z-w^p)=F_p[[w]]$, geometricamente hai un rivestimento $p$-esimo della retta affine. La chiusura integrale di $X$ in $F_p((w))$ dovrebbe essere $F_p((w^p))$ giusto?
Se prendi come primo il punto generico (l'origine in entrambi i casi) hai che la mappa e' ramificata con indice di ramificazione uguale alla caratteristica del campo per cui non separable e mi sembra un controesempio, cosa c'e' di sbagliato?
"alberto86":
cosa c'e' di sbagliato?
Il campo $L$ non è un'estensione di Galois di $K$ perchè non separabile.
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