Semplificazione in una congruenza lineare

[haru1]

salve,

ho la seguente congruenza lineare [tex]8x \equiv 16 (mod 20)[/tex].
[tex]MCD(8,20) = 4 | 16[/tex]
ottengo:
[tex]x \equiv 2 (mod 20)[/tex]
ottengo le soluzioni
[tex]x = x_{0} + \frac{n}{d} \cdot k[/tex]
esse in generale sono:
[tex]x = 2 + \frac{20}{4} \cdot k = 2 + 5 \cdot k[/tex] con [tex]0 \le k \le 3[/tex]
quindi praticamente ottengo alla fine un mod 5.

cortesemente mi piacerebbe sapere, posso già dall'inizio dividere tutto per 4 senza problemi così da ottenere la seguente?
[tex]2x \equiv 4 (mod 5)[/tex]
solo che dividere per 4 viene fatto in [tex]\mathbb{Z}[/tex]

sarebbe più opportuno pensare quindi una moltiplicazione per [tex]\frac{1}{4} \in \mathbb{Z}_{20}[/tex]?
ma se considero la congruenza [tex]4x \equiv 1 (mod 20)[/tex] il [tex]MCD(4,20) \ne 1[/tex] si vede che 4 non è invertibile in [tex]\mathbb{Z}_{20}[/tex], significa che non posso "dividere per 4"?


grazie mille.

[blackbishop13]

come dici non esiste in [tex]\mathbb{Z}_20[/tex] l'inverso di 4, che tu rendi con l'infelice espressione "dividere per 4"

comunque non capisco cosa tu voglia sapere, visto che ti sei risposto da solo.

[haru1]

dalla conguenza originale:
[tex]8x \equiv 16 (mod 20)[/tex]

se divido per 4 ottengo:
[tex]2x \equiv 4 (mod 5)[/tex]
che penso sia ancora valida e non sia sbagliata dal momento che si ottiene un risultato corretto.

se è lecito passare dalla prima alla seconda congruenza,
l'azione di "dividere per 4" è da considerarsi in [tex]\mathbb{Z}_{40}[/tex] o in [tex]\mathbb{Z}[/tex]?