Semplicità A_n

[jinsang]

Salve,

La questione è questa:

E' noto e si usa spesso in algebra che $A_n$ è un gruppo semplice (per $n>4$).
Tuttavia nei miei appunti e sul mio libro di testo non trovo una dimostrazione di questo fatto.
Girando su google ho capito che si usa che:

($n>4$)
1. $A_n$ è generato dai 3-cicli.
2. In $A_n$ i 3-cicli sono coniugati.
3. $H$ normale in $A_n \Rightarrow H$ contiene un 3-ciclo .

Il 1. e 2. li so dimostrare. Sul terzo non ho idee e non trovo niente in rete.

Grazie a chi mi aiuterà.

[Studente Anonimo]

L'idea è procedere per induzione su $n$. Considera lo stabilizzatore di un punto $i in {1,...,n}$, chiamalo $H$. Allora $H$ è isomorfo a $A_{n-1}$ quindi è semplice per induzione. Prendi $N$ normale in $A_n$ e diverso da ${1}$, allora $N nn H$ è normale in $H$ e se non è uguale a ${1}$ allora contiene $3$-cicli (per induzione), quindi $N$ contiene $3$-cicli quindi $N=A_n$. Questo significa che $N nn H = {1}$. In altre parole ogni elemento di $N$ non banale è una permutazione senza punti fissi. Siamo quindi ridotti a mostrare che un sottogruppo normale non banale di $N$ contiene sempre permutazioni non banali con punti fissi. Sai farlo?

[edit: ho modificato]

[jinsang]

"Martino":Siamo quindi ridotti a mostrare che un sottogruppo normale non banale di $N$ non contiene permutazioni non banali senza punti fissi. Sai farlo?

Mi attrigo un po' in questo discorso... Non afferro bene come dovrei concludere, però mi hai suggerito un'idea che forse funziona:

Considero $H_i$ sottogruppo di $A_n$ che stabilizza $i$.
$N$ normale in $A_n$ allora poiché per hp ind $H_i ~= A_(n-1)$ è semplice vale una tra:
- $\EE i:$ $ H_i \nn N=H_i$ in tal caso $N$ contiene un 3-ciclo, tesi.
-$AA i$ vale $H_i \nn N={id}$ quindi $x \in N-{id} \Rightarrow x$ non ha punti fissi.
(Sai che mi sono accorto solo adesso che probabilmente era proprio quello che volevi dirmi ahahah)

Qui ho provato a fare un po' di ragionamenti ma non riesco a concludere.
La cosa che mi sembra sensato provare a fare è cercare elementi $x,y in N$ che non sono uno l'inverso dell'altro né l'identità ma tali che $xy$ stabilizza un elemento, e per cercarli sfruttare il fatto che $N$ contiene classi di coniugio per intero. Però non riesco a mettere insieme questi ingredienti.

Che ne pensi? E' una buona strada o sto sbagliando del tutto?

[Studente Anonimo]

"jinsang":[quote="Martino"]Siamo quindi ridotti a mostrare che un sottogruppo normale non banale di $N$ non contiene permutazioni non banali senza punti fissi. Sai farlo?

La cosa che mi sembra sensato provare a fare è cercare elementi $x,y in N$ che non sono uno l'inverso dell'altro né l'identità ma tali che $xy$ stabilizza un elemento, e per cercarli sfruttare il fatto che $N$ contiene classi di coniugio per intero. Però non riesco a mettere insieme questi ingredienti.

Che ne pensi? E' una buona strada o sto sbagliando del tutto?[/quote]
Ho corretto la mia frase, bisogna trovare in $N$ un elemento non banale con almeno un punto fisso.

L'idea per esempio è che se $a=(1234567) in N$ allora coniugando con $t=(12)(34)$ hai $b=t^(-1)at=(2143567) in N$ da cui $N$ contiene $ab$ e $ab(4)=a(b(4))=a(3)=4$ (nella mia notazione $ab$ significa $a$ composto con $b$ quindi $b$ agisce per primo) quindi $ab in N$ fissa $4$. Bisogna fare un po' di fatica per generalizzarlo ma l'idea è esattamente questa.

[jinsang]

Ok, intanto grazie mille per l'aiuto.
Tento una generalizzazione della tecnica.
Riagganciandoci a prima, supponendo di aver dimostrato la semplicità di $A_5$ a mano, passo subito all'induzione.
Allora sia $x in N$ normale in $A_n$, siccome sono nell'induzione ho $n>5$.
Allora la scrittura di $x$ ricade in una delle seguenti tipologie:

1. $x=(a_1 a_2)(a_3 a_4)(a_5...$
2. $x=(a_1 a_2 a_3) (a_4 a_5...$
3. $x=(a_1 a_2)(a_3 a_4 a_5...$
4. $x=(a_1 a_2 a_3 a_4)(a_5...$
5. $x=(a_1 a_2 a_3 a_4 a_5...$
(eventualmente la parentesi può chiudersi a $a_5$ e riaprirsi dopo)

Allora per ogi tipologia trovo un $y$ tale che $yxy^(-1)x!=id$ ha almeno un punto fisso.
In particolare direi:
1.$y=(a_1 a_2)(a_4 a_5)$
2.3.4.5. $y=(a_1 a_2)(a_3 a_4)$

Dici che si può fare di meglio?