Semplici sommatorie e medie..
Salve di nuovo a tutti.
Sto studiando Statistica sulle dispense del mio professore, e non ho capito un passaggio che ha svolto come conseguenza al teorema del viriale, ed un altro sulle fluttuazioni di energia. Qualcuno può aiutarmi? Dovrebbero essere cose facili..
1) Dettagli a parte (sistema autogravitante, unica forza esterna = gravità), torna che, per N particelle (i,j=1..N), sia:
$f(i) = sum(Gm(i)m(j)(r(j)-r(i))/|r(j)-r(i)|^3)$ (somma per i diverso da j)
$V = sum(r(i)*f(i))$ (somma su i)
A questo punto, scrive, "eseguendo la somma sulle coppie di particelle":
$V = sum(Gm(i)m(j)(r(i)*(r(j)-r(i))+r(j)(r(i)-r(j)))/|r(j)-r(i)|^3)$ (somma su coppie ij ???)
In sostanza avevamo la sommatoria per i, di una sommatoria per i diverso da j, ed è uscita una sola sommatoria per "coppie ij". Cosa è successo, esattamente?
2) Il prof. indica con $E$ il valore dell'energia nei vari istanti, e con $$ il valor medio dell'energia. In un passaggio formula la seguente uguaglianza:
$<(E -)^2> = - ^2$
Ma che senso ha?
Dovrebbe essere:
$<(E -)^2> = + ^2>$
L'unica cosa che mi vien da pensare è che: $-2E = -2^2$ (anche se non avrebbe alcun senso!), ma è lecito pensare che la media di una somma sia uguale alla somma delle medie? 
Sto studiando Statistica sulle dispense del mio professore, e non ho capito un passaggio che ha svolto come conseguenza al teorema del viriale, ed un altro sulle fluttuazioni di energia. Qualcuno può aiutarmi? Dovrebbero essere cose facili..
1) Dettagli a parte (sistema autogravitante, unica forza esterna = gravità), torna che, per N particelle (i,j=1..N), sia:
$f(i) = sum(Gm(i)m(j)(r(j)-r(i))/|r(j)-r(i)|^3)$ (somma per i diverso da j)
$V = sum(r(i)*f(i))$ (somma su i)
A questo punto, scrive, "eseguendo la somma sulle coppie di particelle":
$V = sum(Gm(i)m(j)(r(i)*(r(j)-r(i))+r(j)(r(i)-r(j)))/|r(j)-r(i)|^3)$ (somma su coppie ij ???)
In sostanza avevamo la sommatoria per i, di una sommatoria per i diverso da j, ed è uscita una sola sommatoria per "coppie ij". Cosa è successo, esattamente?
2) Il prof. indica con $E$ il valore dell'energia nei vari istanti, e con $
$<(E -
Ma che senso ha?
Dovrebbe essere:
$<(E -
L'unica cosa che mi vien da pensare è che: $-2E
Risposte
Ciao,
per il punto 2) mi pare semplice linearità della media...
sicura che sia scritta correttamente?
percaso non è questa: $E[(X-\mu)^2]$ sarebbe la definizione di Varianza. con $\mu =$.
il tuo docente utilizza una notazione farlocca. Con $E$ di solito si annota la il valore attesto (Expected). Ma $E$ starebbe a significare una v.a. (o un insieme di campioni).
per il punto 2) mi pare semplice linearità della media...
sicura che sia scritta correttamente?
percaso non è questa: $E[(X-\mu)^2]$ sarebbe la definizione di Varianza. con $\mu =
il tuo docente utilizza una notazione farlocca. Con $E$ di solito si annota la il valore attesto (Expected). Ma $E$ starebbe a significare una v.a. (o un insieme di campioni).
"Sakineh":
In sostanza avevamo la sommatoria per i, di una sommatoria per i diverso da j, ed è uscita una sola sommatoria per "coppie ij". Cosa è successo, esattamente?
Sulla Wikipedia mettono che i e j sono distinti:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_de ... ostrazione
Il segno $>$ invece del segno $\!=$ appare perché effettivamente nell'espressione (anche nella tua) c'è già una somma.
"hamming_burst":
percaso non è questa: $E[(X-\mu)^2]$ sarebbe la definizione di Varianza. con $\mu =$.
il tuo docente utilizza una notazione farlocca. Con $E$ di solito si annota la il valore attesto (Expected). Ma $E$ starebbe a significare una v.a. (o un insieme di campioni).
Penso che sia come dici tu: E è una variabile aleatoria e con
"hamming_burst":
Ciao,
per il punto 2) mi pare semplice linearità della media...
sicura che sia scritta correttamente?
percaso non è questa: $E[(X-\mu)^2]$ sarebbe la definizione di Varianza. con $\mu =$.
il tuo docente utilizza una notazione farlocca. Con $E$ di solito si annota la il valore attesto (Expected). Ma $E$ starebbe a significare una v.a. (o un insieme di campioni).
La nostra statistica è applicata alla termodinamica, forse per questo il prof utilizza notazioni imprecise (la varianza e tutto il resto è stato fatto nel corso di laboratorio di fisica).
Il punto è che la linearità della media vale per valori fissati, in questo caso $E$ è appunto l'insieme dei valori che assume l'energia non uno arbitrario.. mi viene difficile pensare che la cosa possa essere irrilevante ai fini della dimostrazione.
Ho fatto una prova, prendendo due serie di numeri diversi, facendo la somma delle medie singole, e poi la media della somma. E lo stesso col prodotto. Vengono valori diversi solo sul %.. forse è un'approssimazione statistica.
Edit: No, ho sbagliato. Nella "media della somma di due serie di tot numeri" va considerato che tali numeri possono essere sommati in $N$ modi diversi, non in un ordine preciso. La media di questi tot modi dà effettivamente la somma delle medie, mentre la media delle somme fatte in un modo particolare varia leggermente da quest'ultima. Grazie.
"retrocomputer":
[quote="Sakineh"]
In sostanza avevamo la sommatoria per i, di una sommatoria per i diverso da j, ed è uscita una sola sommatoria per "coppie ij". Cosa è successo, esattamente?
Sulla Wikipedia mettono che i e j sono distinti:
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_de ... ostrazione
Il segno $>$ invece del segno $\!=$ appare perché effettivamente nell'espressione (anche nella tua) c'è già una somma.[/quote]
Ah ecco, questo conferma un'ipotesi che avevo fatto. In sostanza con $i\!=j$ si possono avere dei doppioni (i=1, j=2, e poi j=1, i=2), invece lui unisce le sommatorie a patto che solo "un verso di sommatoria" sia accettabile (cioè solo i=1, j=2, e così via con i=2, j=3). Grazie.
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