Semplice esercizio sul centro di un gruppo G

[nine98100]

Salve a tutti, oggi stavo riguardando alcuni appunti di Algebra quando mi ha colpito questo esercizio che non riesco a risolvere, il testo dice: sia dato $ ninNN $ , si ha $ x^ninZ(G) $ se e solo se $ (xy)^n=(yx)^n $ per ogni $ x,yinG $ .... Ringrazio chiunque mi aiuterà

[Studente Anonimo]

Se è scritto davvero così allora purtroppo non ha senso, perché hai quantificato la $x$ solo a destra. Forse la $x$ è quantificata anche a sinistra?

[nine98100]

"Martino":Se è scritto davvero così allora purtroppo non ha senso, perché hai quantificato la $x$ solo a destra. Forse la $x$ è quantificata anche a sinistra?

Si mi sono scordato di scriverla. Il testo completo è : sia dato $ ninNN $ , si ha $ x^ninZ(G) $ ( $ AA x inG $ ) se e solo se $ (xy)^n=(yx)^n $ per ogni $ x,yinG $

[Studente Anonimo]

Idee tue? Hai provato a scrivere $x^{-1} (xy)^n x$ ?

[nine98100]

"Martino":Idee tue? Hai provato a scrivere $x^{-1} (xy)^n x$ ?

Se scrivo $x^{-1} (xy)^n x=(yx)^n$ trovo che $(xy)^n$ e $(yx)^n$ sono coniugati, ma non so come usare questa cosa. So anche che un elemento sta nel centro se e solo se è coniugato solo a se stesso... Però non riesco a risolvere il problema

[Studente Anonimo]

Esatto. Quindi se metti insieme le due cose ottieni che se sono coniugati e stanno nel centro allora sono uguali.