Semplice esercizio su relazione d'equivalenza
Salve ragazzi,ho un problema con questo esercizio:
Sia A={1,2,3,4,5,6} e siano p e q due relazioni in A date da:
xpy se e solo se $2x+3y$ è multiplo di 5 e xqy se e solo se $2x-3y$ è multiplo di 5
(1):Verificare che p è una relazione di equivalenza e scrivere esplicitamente tutte le classi di equivalenza
(2):Provare che invece q non è una relazione di equivalenza.E' d'ordine?
Per il primo punto procedo in questo modo:
(1)Proprietà Riflessiva xRx
$2x+3x = 5x$ 5x è banalmente un multiplo di x
(2)Simmetrica: xRy -> yRx quindi
$2x+3y=3y+2x$ Verificata poichè la somma gode della proprietà commutativa
(3)Transitiva:xRy e yRz-> xRz
$2x+3y$ e $2y+3z -> 2x+3z$ ???
Ora non so se fin qui il procedimento sia corretto e non so come trovare le classi di equivalenza.
Mi sto esercitando tantissimo ma sono disperato,scusatemi
Sia A={1,2,3,4,5,6} e siano p e q due relazioni in A date da:
xpy se e solo se $2x+3y$ è multiplo di 5 e xqy se e solo se $2x-3y$ è multiplo di 5
(1):Verificare che p è una relazione di equivalenza e scrivere esplicitamente tutte le classi di equivalenza
(2):Provare che invece q non è una relazione di equivalenza.E' d'ordine?
Per il primo punto procedo in questo modo:
(1)Proprietà Riflessiva xRx
$2x+3x = 5x$ 5x è banalmente un multiplo di x
(2)Simmetrica: xRy -> yRx quindi
$2x+3y=3y+2x$ Verificata poichè la somma gode della proprietà commutativa
(3)Transitiva:xRy e yRz-> xRz
$2x+3y$ e $2y+3z -> 2x+3z$ ???
Ora non so se fin qui il procedimento sia corretto e non so come trovare le classi di equivalenza.
Mi sto esercitando tantissimo ma sono disperato,scusatemi
Risposte
"python34":intendevi $ 2x+3y $ è un multiplo di 5?
... $ 2x+3y $ è multiplo di e e ...
Si,scusami
Per prima cosa riscriverei in maniera più chiara la relazione del testo dell'esercizio:
$ xRy $ se e solo se $ EE d in A :2x+3y=5d $.
Per dimostrare che la relazione è transitiva si può fare in questo modo:
$ xRy $ quindi $ 2x+3y=5d_1 $
$ yRz $ quindi $ 2y +3z=5d_2 $
Dunque $ 2x+3z=(5d_1-3y)+(5d_2-2y)=5(d_1-y+d_2) $ e quindi $ 2x+3z $ è un multiplo di $ 5 $.
Riguardo le classi di equivalenza ti basta sapere che (detto a parole) la classe di equivalenza di un elemento $ x in A $ è l'insieme di tutti gli elementi $ a in A $ tali per cui $ xRa $.
L'unico problema qui è quali operazioni si possono fare sul tuo insieme? Ha senso prendere due numeri $ a_1 in A,a_2 in A $ e fare $ a_1/a_2 $ ? Se si, com'è definita questa operazione sul tuo insieme?
$ xRy $ se e solo se $ EE d in A :2x+3y=5d $.
Per dimostrare che la relazione è transitiva si può fare in questo modo:
$ xRy $ quindi $ 2x+3y=5d_1 $
$ yRz $ quindi $ 2y +3z=5d_2 $
Dunque $ 2x+3z=(5d_1-3y)+(5d_2-2y)=5(d_1-y+d_2) $ e quindi $ 2x+3z $ è un multiplo di $ 5 $.
Riguardo le classi di equivalenza ti basta sapere che (detto a parole) la classe di equivalenza di un elemento $ x in A $ è l'insieme di tutti gli elementi $ a in A $ tali per cui $ xRa $.
L'unico problema qui è quali operazioni si possono fare sul tuo insieme? Ha senso prendere due numeri $ a_1 in A,a_2 in A $ e fare $ a_1/a_2 $ ? Se si, com'è definita questa operazione sul tuo insieme?
Scusate se mi intrometto ma vorrei fare un'osservazione (forse anche sbagliata
)
Secondo me la simmetrica non si dimostra così:
Perché $yRx \leftrightarrow 5|2y+3x$ (non $3y+2x$)
Io lo dimostrerei così:
$xRy \rarr EE k in N : 2x+3y=5k \rarr x=(5k-3y)/2 \rarr 2y+3x=2y+3(5k-3y)/2=(15k-5y)/2=5(3k-y)/2$
Adesso resta da mostrare soltanto che $3k-y$ è pari per soddisfare $yRx$
Osserviamo: $5k=2x+3y \rarr 3k=2x+3y-2k \rarr 3k-y=2x+2y-2k=2(x+y-k)$
Abbiamo finito poiché supponendo $xRy$ abbiamo mostrato $yRx$.
Qualcuno conferma/smentisce?

Secondo me la simmetrica non si dimostra così:
(2)Simmetrica: xRy -> yRx quindi
$2x+3y=3y+2x$ Verificata poichè la somma gode della proprietà commutativa
Perché $yRx \leftrightarrow 5|2y+3x$ (non $3y+2x$)
Io lo dimostrerei così:
$xRy \rarr EE k in N : 2x+3y=5k \rarr x=(5k-3y)/2 \rarr 2y+3x=2y+3(5k-3y)/2=(15k-5y)/2=5(3k-y)/2$
Adesso resta da mostrare soltanto che $3k-y$ è pari per soddisfare $yRx$
Osserviamo: $5k=2x+3y \rarr 3k=2x+3y-2k \rarr 3k-y=2x+2y-2k=2(x+y-k)$
Abbiamo finito poiché supponendo $xRy$ abbiamo mostrato $yRx$.
Qualcuno conferma/smentisce?
Confermo!!
Grazie mille ragazzi


