Semplice esercizio su relazione d'equivalenza

python1134
Salve ragazzi,ho un problema con questo esercizio:

Sia A={1,2,3,4,5,6} e siano p e q due relazioni in A date da:

xpy se e solo se $2x+3y$ è multiplo di 5 e xqy se e solo se $2x-3y$ è multiplo di 5

(1):Verificare che p è una relazione di equivalenza e scrivere esplicitamente tutte le classi di equivalenza
(2):Provare che invece q non è una relazione di equivalenza.E' d'ordine?

Per il primo punto procedo in questo modo:
(1)Proprietà Riflessiva xRx
$2x+3x = 5x$ 5x è banalmente un multiplo di x
(2)Simmetrica: xRy -> yRx quindi
$2x+3y=3y+2x$ Verificata poichè la somma gode della proprietà commutativa
(3)Transitiva:xRy e yRz-> xRz
$2x+3y$ e $2y+3z -> 2x+3z$ ???

Ora non so se fin qui il procedimento sia corretto e non so come trovare le classi di equivalenza.

Mi sto esercitando tantissimo ma sono disperato,scusatemi

Risposte
niccoset
"python34":
... $ 2x+3y $ è multiplo di e e ...
intendevi $ 2x+3y $ è un multiplo di 5?

python1134
Si,scusami

niccoset
Per prima cosa riscriverei in maniera più chiara la relazione del testo dell'esercizio:

$ xRy $ se e solo se $ EE d in A :2x+3y=5d $.

Per dimostrare che la relazione è transitiva si può fare in questo modo:

$ xRy $ quindi $ 2x+3y=5d_1 $
$ yRz $ quindi $ 2y +3z=5d_2 $
Dunque $ 2x+3z=(5d_1-3y)+(5d_2-2y)=5(d_1-y+d_2) $ e quindi $ 2x+3z $ è un multiplo di $ 5 $.

Riguardo le classi di equivalenza ti basta sapere che (detto a parole) la classe di equivalenza di un elemento $ x in A $ è l'insieme di tutti gli elementi $ a in A $ tali per cui $ xRa $.
L'unico problema qui è quali operazioni si possono fare sul tuo insieme? Ha senso prendere due numeri $ a_1 in A,a_2 in A $ e fare $ a_1/a_2 $ ? Se si, com'è definita questa operazione sul tuo insieme?

jinsang
Scusate se mi intrometto ma vorrei fare un'osservazione (forse anche sbagliata :lol: )

Secondo me la simmetrica non si dimostra così:

(2)Simmetrica: xRy -> yRx quindi
$2x+3y=3y+2x$ Verificata poichè la somma gode della proprietà commutativa


Perché $yRx \leftrightarrow 5|2y+3x$ (non $3y+2x$)

Io lo dimostrerei così:

$xRy \rarr EE k in N : 2x+3y=5k \rarr x=(5k-3y)/2 \rarr 2y+3x=2y+3(5k-3y)/2=(15k-5y)/2=5(3k-y)/2$

Adesso resta da mostrare soltanto che $3k-y$ è pari per soddisfare $yRx$

Osserviamo: $5k=2x+3y \rarr 3k=2x+3y-2k \rarr 3k-y=2x+2y-2k=2(x+y-k)$

Abbiamo finito poiché supponendo $xRy$ abbiamo mostrato $yRx$.

Qualcuno conferma/smentisce?

niccoset
Confermo!!

python1134
Grazie mille ragazzi :D :D :D

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