Semplice esercizio su isomorfismo tra insiemi ordinati.
Salve,
posto questo esempio perchè ho delle difficoltà forse nell'interpretare bene la traccia.
Le definizioni delle seguenti relazioni sono state definite in un altro esercizio e vengono applicate su questo esercizio.
Posto sia la traccia che le definizioni per evitare problemi.
ecco l'esercizio:
Si consideri l'applicazione identica $\iota_(NN^(**)): NN^(**) \rightarrow NN^(**)$, dove il dominio si supponga parzialmente ordinato dalla relazione $|$ dell' esempio 1 e il codominio si suppone ordinato dall'ordinamento usuale $<=$ dei numeri naturali positivi (vedi esempio 2). Allora $\iota_(NN^(**))$ è un omomorfismo di insiemi ordinati perchè se $x,y \in NN^(**)$ e $x|y \Rightarrow x <= y$.
Invece la biiezione $\iota_(NN^(**))$ non è un isomorfismo, in quanto non è vero che se $x,y \in NN^(**)$ e $x <= y \Rightarrow x|y$.
ecco la relazione $|$ dell'esempio 1:
Sia $NN^(**)$ l'insieme dei numeri naturali positivi. Su $NN^(**)$ definiamo la relazione $|$ ponendo, $AA x,y \in NN^(**), x|y se EE a \in ZZ$ tale che $xa=y$.
ecco la relazione $<=$ dell'esempio 2:
Sia $NN^(**)$ l'insieme dei numeri naturali positivi. Su $NN^(**)$ definiamo la relazione $|$ ponendo, $AA x,y \in NN^(**), x<=y se EE z \in ZZ$ tale che $x+z=y$.
so cos'è un omomorfismo di insiemi ordinati:
so cos'è un isomorfismo di insiemi ordinati:
ho pensato il seguente anche se non so se sia giusto...
dal momento che si tratta di una funzione identica abbiamo:
$AA x \in N^(**), x|x$ se $EE a \in ZZ$ tale che $xa=x$
e lo stesso nel codominio?
$AA x \in N^(**), x<=x$ se $EE z \in ZZ$ tale che $x+z=x$
è giusto? e comunque ho delle difficoltà a capire bene questo esercizio... nonostante presumo sia molto semplice.
se gentilmente potreste darmi un aiuto.
grazie mille!!
posto questo esempio perchè ho delle difficoltà forse nell'interpretare bene la traccia.
Le definizioni delle seguenti relazioni sono state definite in un altro esercizio e vengono applicate su questo esercizio.
Posto sia la traccia che le definizioni per evitare problemi.
ecco l'esercizio:
Si consideri l'applicazione identica $\iota_(NN^(**)): NN^(**) \rightarrow NN^(**)$, dove il dominio si supponga parzialmente ordinato dalla relazione $|$ dell' esempio 1 e il codominio si suppone ordinato dall'ordinamento usuale $<=$ dei numeri naturali positivi (vedi esempio 2). Allora $\iota_(NN^(**))$ è un omomorfismo di insiemi ordinati perchè se $x,y \in NN^(**)$ e $x|y \Rightarrow x <= y$.
Invece la biiezione $\iota_(NN^(**))$ non è un isomorfismo, in quanto non è vero che se $x,y \in NN^(**)$ e $x <= y \Rightarrow x|y$.
ecco la relazione $|$ dell'esempio 1:
Sia $NN^(**)$ l'insieme dei numeri naturali positivi. Su $NN^(**)$ definiamo la relazione $|$ ponendo, $AA x,y \in NN^(**), x|y se EE a \in ZZ$ tale che $xa=y$.
ecco la relazione $<=$ dell'esempio 2:
Sia $NN^(**)$ l'insieme dei numeri naturali positivi. Su $NN^(**)$ definiamo la relazione $|$ ponendo, $AA x,y \in NN^(**), x<=y se EE z \in ZZ$ tale che $x+z=y$.
so cos'è un omomorfismo di insiemi ordinati:
Un omomorfismo di insiemi ordinati $\phi$ di $A$ in $A'$ è un'applicazione $\phi: A \rightarrow A'$ tale che $x <= y \Rightarrow \phi(x) <= \phi(y) AA x,y \in A$
so cos'è un isomorfismo di insiemi ordinati:
data la biiezione $\phi: A \rightarrow A'$ tra due insiemi parzialmente ordinati $(A, <=) e (A', <=)$. se soddisfa una delle seguenti, e quindi ad entrambe, si dice isomorfismo di insiemi ordinati:
(a) entrambe le applicazioni $\phi$ e $\phi^(-1)$ sono omomorfismi di insiemi ordinati;
(b) $AA x,y \in A$ si ha $x <= y$ se e solo se $\phi(x) <= \phi(y)$.
ho pensato il seguente anche se non so se sia giusto...
dal momento che si tratta di una funzione identica abbiamo:
$AA x \in N^(**), x|x$ se $EE a \in ZZ$ tale che $xa=x$
e lo stesso nel codominio?
$AA x \in N^(**), x<=x$ se $EE z \in ZZ$ tale che $x+z=x$
è giusto? e comunque ho delle difficoltà a capire bene questo esercizio... nonostante presumo sia molto semplice.
se gentilmente potreste darmi un aiuto.
grazie mille!!
Risposte
Che $I_(NN**)$ sia una biiezione è evidente; ora ti occorre mostrare che conserva l'ordine, ovvero che $AA x,y \in NN^**, x|y \quad =>\quad x<=y$: ciò è molto semplice se ricordi le usuali proprietà della moltiplicazione in $NN^**$.
Infatti, fissa $x,y\in NN^**$ e supponi che $x|y$, ossia che esista $a\in NN^**$ tale che $ax=y$: ora è $1<=a$ (perchè $a\in NN^**$) e moltiplicando ambo i membri per $x$ trovi $1x<=ax$ (perchè la relazione d'ordine usuale $<=$ è compatibile con la moltiplicazione); da quest'ultima ricavi in un battibaleno $x<=y$.
Buono studio.
Infatti, fissa $x,y\in NN^**$ e supponi che $x|y$, ossia che esista $a\in NN^**$ tale che $ax=y$: ora è $1<=a$ (perchè $a\in NN^**$) e moltiplicando ambo i membri per $x$ trovi $1x<=ax$ (perchè la relazione d'ordine usuale $<=$ è compatibile con la moltiplicazione); da quest'ultima ricavi in un battibaleno $x<=y$.
Buono studio.
scusami ma, non mi è molto chiaro.
Prima di tutto dal momento che è un'applicazione identica, quello che ho detto io è giusto?
Prima di tutto dal momento che è un'applicazione identica, quello che ho detto io è giusto?
comunque non ho capito proprio perchè nell'esercizio fa riferimento ad una applicazione identica e non ad una semplice applicazione.
sto facendo davvero molta confusione con questo esercizio e comunque, si dovrebbe considerare in questo modo?
se presi due elem $x,y \in NN^**$, se tra questi elementi considerati intercorre la relazione $|$ cioè se $x$ è in relazione $|$ con $y$, praticamente se $x|y$ quindi $x,y \in (N^**, |) \sube NN^** \times NN^** $ allora questi due elementi possono partecipare alla funzione?
quindi dal momento che si tratta di una funzione identica cioè $I_(NN^(**))(x) = x, I_(NN^(**))(y) = y$ e quindi troveranno le loro immagini (che corrispondono agli elementi di partenza) in ordine $I_(NN^(**))(x) <= I_(NN^(**))(y)$ e dal momento che le loro immagini sono uguali all'elemento di partenza è giusto dire anche $x<=y$ e quindi $x,y \in (NN^**, <=) \sube NN^** \times NN^** $ ?
sto facendo davvero molta confusione con questo esercizio e comunque, si dovrebbe considerare in questo modo?
se presi due elem $x,y \in NN^**$, se tra questi elementi considerati intercorre la relazione $|$ cioè se $x$ è in relazione $|$ con $y$, praticamente se $x|y$ quindi $x,y \in (N^**, |) \sube NN^** \times NN^** $ allora questi due elementi possono partecipare alla funzione?
quindi dal momento che si tratta di una funzione identica cioè $I_(NN^(**))(x) = x, I_(NN^(**))(y) = y$ e quindi troveranno le loro immagini (che corrispondono agli elementi di partenza) in ordine $I_(NN^(**))(x) <= I_(NN^(**))(y)$ e dal momento che le loro immagini sono uguali all'elemento di partenza è giusto dire anche $x<=y$ e quindi $x,y \in (NN^**, <=) \sube NN^** \times NN^** $ ?
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