Semplice equivalenza modulare che "non capisco"
Supponiamo \( 2 \mid c, d \) e \( 2 \not\mid b \) ho i seguenti passaggi che non capisco
\[D= b^2c^2 - 4b^3 d \equiv 4 \left( \left( \frac{1}{2} c \right)^2 -bd \right) \mod 16 \]
pertanto \( d \equiv 0 \mod 4 \) se e solo se \( D \equiv 0,4 \mod 16 \).
Ora in primo luogo cosa vuol dire esattamente \( \frac{1}{2} \) in \( \mod 16 \) ? \(2 \) non possiede un inverso.
Suppongo che \( \frac{1}{2} \) voglia dire semplicemente dividere per \(2\) il numero \(c\) prima di ridurlo \( \mod 16 \) ?
Comunque sia non capisco come fa a far sparire un fattore \(b^2 \), cioè come se mi dicesse che \(b^2 \equiv 1 \mod 16 \) però è falso questo supponendo solo che \( 2 \not\mid b\).
\[D= b^2c^2 - 4b^3 d \equiv 4 \left( \left( \frac{1}{2} c \right)^2 -bd \right) \mod 16 \]
pertanto \( d \equiv 0 \mod 4 \) se e solo se \( D \equiv 0,4 \mod 16 \).
Ora in primo luogo cosa vuol dire esattamente \( \frac{1}{2} \) in \( \mod 16 \) ? \(2 \) non possiede un inverso.
Suppongo che \( \frac{1}{2} \) voglia dire semplicemente dividere per \(2\) il numero \(c\) prima di ridurlo \( \mod 16 \) ?
Comunque sia non capisco come fa a far sparire un fattore \(b^2 \), cioè come se mi dicesse che \(b^2 \equiv 1 \mod 16 \) però è falso questo supponendo solo che \( 2 \not\mid b\).
Risposte
Sono d’accordo, quella congruenza è falsa in generale.
"hydro":
Sono d’accordo, quella congruenza è falsa in generale.
Il punto è che non credo sia possibile che sia sbagliata la conclusione
Ma penso di aver capito cosa faccia. Sostanzialmente si "dimentica" di \(b^2 \) ma può farlo perché, è vero che \( d \equiv 0 \mod 4 \) se e solo se
\[ D_1 := 4 \left( \left( \frac{1}{2} c \right)^2 - bd \right) \equiv 0,4 \mod 16 \]
chiaramente \( D_1 \equiv 0 \mod 16 \) se e solo se \( D= b^2 D_1 \equiv 0 \mod 16 \), mentre \( D_1 \equiv 4 \mod 16 \) se e solo se \( D \equiv 4b^2 \equiv 4 \mod 16 \) poiché \(b^2 \equiv 1,3 \mod 4 \) sicché \(2 \not\mid b\)
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