Semplice domanda numero soluzioni di un'equazione
Ciao a tutti,
se ho un'equazione in $R$ di grado $n$ posso dire che questa avrà in $C$ esattamente $n$ soluzioni (contate con la molteplicità) per il teorema fondamentale dell'algebra e corollari. E se $n$ è dispari avrò almeno una soluzione reale.
Se ho un'equazione a coefficienti complessi in $C$ di grado $n$ posso sempre dire a priori che sto cercando $n$ soluzioni.
Facendo un semplice esempio posso dire senza problemi che $z|z|^2-4iz=0$ ha esattamente 3 soluzioni in $C$. Ma cosa potrei rispondere a qualcuno che dicesse che $|z|^2=a^2+b^2$ è solamente un numero e quindi l'equazione è di primo grado ed ha una soluzione?
Grazie.
se ho un'equazione in $R$ di grado $n$ posso dire che questa avrà in $C$ esattamente $n$ soluzioni (contate con la molteplicità) per il teorema fondamentale dell'algebra e corollari. E se $n$ è dispari avrò almeno una soluzione reale.
Se ho un'equazione a coefficienti complessi in $C$ di grado $n$ posso sempre dire a priori che sto cercando $n$ soluzioni.
Facendo un semplice esempio posso dire senza problemi che $z|z|^2-4iz=0$ ha esattamente 3 soluzioni in $C$. Ma cosa potrei rispondere a qualcuno che dicesse che $|z|^2=a^2+b^2$ è solamente un numero e quindi l'equazione è di primo grado ed ha una soluzione?
Grazie.
Risposte
Si sta parlando di equazioni polinomiali. L'equazione $z|z|^2-4iz=0$ che hai scritto non è polinomiale. E infatti se la risolvi trovi come unica soluzione $z=0$ (di molteplicità 1, se si può parlare di molteplicità). Per fare un esempio più drammatico, l'equazione $|z|-z=0$ ha infinite soluzioni.
Anche l'equazione $|z|^2 = a^2+b^2$ ha infinite soluzioni. Si tratta di tutti i numeri complessi di modulo $r =\sqrt{a^2+b^2}$, è una circonferenza di raggio $r$.
Anche l'equazione $|z|^2 = a^2+b^2$ ha infinite soluzioni. Si tratta di tutti i numeri complessi di modulo $r =\sqrt{a^2+b^2}$, è una circonferenza di raggio $r$.
"Martino":
Si sta parlando di equazioni polinomiali. L'equazione $z|z|-4iz=0$ che hai scritto non è polinomiale. E infatti se la risolvi trovi come unica soluzione $z=0$ (di molteplicità 1, se si può parlare di molteplicità). Per fare un esempio più drammatico, l'equazione $|z|-z=0$ ha infinite soluzioni.
Anche l'equazione $|z|^2 = a^2+b^2$ ha infinite soluzioni. Si tratta di tutti i numeri complessi di modulo $r =\sqrt{a^2+b^2}$, è una circonferenza di raggio $r$.
Ma quindi in quel caso (in particolare quello che avevo scritto io era $z|z|^2-4iz^2=0$ solo che mi ero perso una potenza e che dovrebbe avere come soluzioni $0$, $0$ e $-4i$ posso sapere in anticipo che ha tre soluzioni?
Perché se ponessi $a^2+b^2=c \in R$ potrei dire che $cz-4iz^2=0$. A questo step si può applicare il teorema fondamentale dell'algebra che mi dice esistono due soluzioni (il grado è 3)?
Diciamo che non ho ben capito come usare quel teorema per capire ex ante il numero di soluzioni. Come distinguo una polinomiale da una non polinomiale?
Grazie per la risposta.
Non puoi applicare il teorema fondamentale dell'algebra perché $z|z|^2-4iz^2$ non è un polinomio.
Giusto per chiarire il punto, ripeto che $z|z|^2-4iz^2$ non è un polinomio.
Non puoi applicare il teorema fondamentale dell'algebra a $cz-4iz^2$ perché la definizione di $c$ dipende da $z$, essendo $c = |z|^2$. Cioè $c$ non è una costante, quindi hai solo riscritto la quantità $z|z|^2-4iz^2$ in un modo che "sembra" un polinomio ma non lo è. In un polinomio non compare mai $|z|$, un polinomio è una somma di cose del tipo $a_iz^i$ con $a_i$ costante.
Giusto per chiarire il punto, ripeto che $z|z|^2-4iz^2$ non è un polinomio.
Non puoi applicare il teorema fondamentale dell'algebra a $cz-4iz^2$ perché la definizione di $c$ dipende da $z$, essendo $c = |z|^2$. Cioè $c$ non è una costante, quindi hai solo riscritto la quantità $z|z|^2-4iz^2$ in un modo che "sembra" un polinomio ma non lo è. In un polinomio non compare mai $|z|$, un polinomio è una somma di cose del tipo $a_iz^i$ con $a_i$ costante.
Grazie. Ergo per espressioni non polinomiali non posso dire nulla a priori.
Immagino il T.F.A. non poteva essere applicato anche se la richiesta fosse stata $a^2z+b^2z=c$. Ovvero quando ho dei parametri. O no? Se invece avessi avuto $9z+4z-4iz=0$?
Immagino il T.F.A. non poteva essere applicato anche se la richiesta fosse stata $a^2z+b^2z=c$. Ovvero quando ho dei parametri. O no? Se invece avessi avuto $9z+4z-4iz=0$?
"Fregior":Lo puoi applicare a $a^2z+b^2z=c$ se $a,b,c$ sono costanti. Nel caso che abbiamo discusso sopra $a,b$ non erano costanti, erano rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di $z$. Quando dico "costante" intendo dire "qualcosa che non dipende da $z$".
Immagino il T.F.A. non poteva essere applicato anche se la richiesta fosse stata $a^2z+b^2z=c$. Ovvero quando ho dei parametri. O no?
Se invece avessi avuto $9z+4z-4iz=0$?Lo puoi applicare perché $9z+4z-4iz$ è un polinomio.
Perfetto, grazie. Per curiosità, come si chiamato quelle equazioni non polinomiali? Hanno un nome?
Non hanno un nome 
prego, ciao!
prego, ciao!
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