Semplice dimostrazione sulle funzioni
Salve, vorrei chiedervi conferma sulla correttezza di questa dimostrazione.
Siano date due applicazioni: $f: X->Y$ e $g: Y->Z$.
Se $f$ e $g$ sono entrambe suriettive, allora $g * f$ è suriettiva. [nota]$*$ rappresenta l'operazione di composizione.[/nota]
Poiché $f$ e $g$ sono suriettive, $AA y in Y, f^-1(y) != \emptyset$ e $AA z in Z, f^-1(z) != \emptyset$.
Quindi $g * f (x) = g(f(x)) = g(y)$[nota]Qui ho applicato che $f$ è suriettiva, perché se non lo fosse stata avrei avuto delle $y$ senza contro-immagine, e quindi per loro non sarebbe valso $y=f(x)$[/nota]$ = z $[nota]Stesso discorso di prima: se $g$ non è suriettiva $g(y)$ non è sempre equivalente a $z$, $AA z in Z$[/nota]$=> z in Im (g*f)$.
Siano date due applicazioni: $f: X->Y$ e $g: Y->Z$.
Se $f$ e $g$ sono entrambe suriettive, allora $g * f$ è suriettiva. [nota]$*$ rappresenta l'operazione di composizione.[/nota]
Poiché $f$ e $g$ sono suriettive, $AA y in Y, f^-1(y) != \emptyset$ e $AA z in Z, f^-1(z) != \emptyset$.
Quindi $g * f (x) = g(f(x)) = g(y)$[nota]Qui ho applicato che $f$ è suriettiva, perché se non lo fosse stata avrei avuto delle $y$ senza contro-immagine, e quindi per loro non sarebbe valso $y=f(x)$[/nota]$ = z $[nota]Stesso discorso di prima: se $g$ non è suriettiva $g(y)$ non è sempre equivalente a $z$, $AA z in Z$[/nota]$=> z in Im (g*f)$.
Risposte
Chiedo una mano anche per quest'altra dimostrazione, molto simile alla prima. Se $f$ e $g$ sono iniettive $g*f$ è iniettiva.
Dall'iniettività delle funzioni segue che : $AA y in Y, f^-1(y) = \emptyset$ oppure $f^-1(y) = {x} <=> f(x) = y$ e $AA z in Z, g^-1(z) = \emptyset$ oppure $g^-1(z) = {y} <=> g(y) = z$.
Suppongo per assurdo che $g*f(x)$ non sia iniettiva: allora $x_1 != x_2 => g*f(x_1) = g*f(x_2)$, $EE x_1, x_2 in X$.
Da qui come mi converrebbe procedere?
Dall'iniettività delle funzioni segue che : $AA y in Y, f^-1(y) = \emptyset$ oppure $f^-1(y) = {x} <=> f(x) = y$ e $AA z in Z, g^-1(z) = \emptyset$ oppure $g^-1(z) = {y} <=> g(y) = z$.
Suppongo per assurdo che $g*f(x)$ non sia iniettiva: allora $x_1 != x_2 => g*f(x_1) = g*f(x_2)$, $EE x_1, x_2 in X$.
Da qui come mi converrebbe procedere?
"HowardRoark":
Chiedo una mano anche per quest'altra dimostrazione, molto simile alla prima. Se $f$ e $g$ sono iniettive $g*f$ è iniettiva.
\[(gf)(x)=(gf)(y)\iff g(f(x))=g(f(y))\stackrel{g\text{ iniettiva }}{\Longrightarrow}f(x)=f(y)\stackrel{f\text{ iniettiva }}{\Longrightarrow}x=y\]
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