Semplice dimostrazione su un gruppo

[ZetaFunction1]

Siano $a,b$ elementi di un gruppo $G$. Supponiamo che $a$ abbia ordine 5 e che $a^3b=ba^3$. Dimostrare che $ab=ba$.

Ora, a me sembra che sia possibile risolverlo utilizzando solo l'associatività: si può scrivere $a^2(ab)=(ba)a^2$, quindi dev'essere necessariamente $ab=ba$. Però non mi torna il fatto di poter glissare sull'ordine 5. Dove ho sbagliato?

[perplesso1]

"ZetaFunction":si può scrivere $a^2(ab)=(ba)a^2$, quindi dev'essere necessariamente $ab=ba$

Non mi risulta. Stai usando la legge di cancellazione in maniera impropria, si cancella o a destra o a sinistra non "ad incrocio"... insomma da $xy = zx$ non puoi dedurre $y=z$

[ZetaFunction1]

In effetti pensandoci la sola associatività non basta.

[perplesso1]

Si può dimostrare in tanti modi, in ogni caso si tratta di fare pochi conti. Ti può aiutare questa osservazione: $a=a^6=a^3a^3$ Dai che è facile!

[ZetaFunction1]

Allora, ditemi se torna la soluzione. Partendo dall'ipotesi, bisogna dimostrare che $a^3a^3b=ba^3a^3$; si ottiene che $ba^3a^3b=b^2a^6=(ba^3)^2$ conformemente all'equazione iniziale.

P. S.: scusate la banalità di questo e di eventuali altri problemi che vi proporrò. Sono autodidatta, ai primi passi con l'algebra e il libro non riporta le soluzioni.

[perplesso1]

Veramente io pensavo a questo

$ab=a^6b=a^3(a^3b)=a^3(ba^3)=(a^3b)a^3=(ba^3)a^3=ba^6=ba$

Cmq penso vada bene anche il tuo.