Semigruppo

[milos144]

Un semigruppo $(G,*)$ é un gruppo se è solo se per ogni $a,b in G$ le equazioni
$ax=b$
$ya=b$
ammettono soluzioni uniche $in G$
Io per dimostrare che in un semigruppo non si possono avere soluzioni uniche ho pensato alla legge di cancellazione.
Nel semigruppo non vale:
$ax= ya rArr x !=y$
Ho solo provato!

[kobeilprofeta]

Quello che hai scritto non vale neanche in un gruppo. Comunque sei sulla strada giusta.

[milos144]

Proviamo a dare una risposta:

Se $ax=b$ e $ya=b $ ammettono soluzioni nel semigruppo $G$ allora $G$ é un gruppo.
Supposto che $ax=ya $ allora

$x = e*x = (a^(−1)*a)*x= a^(−1)*(ax) = a^(−1)*(ay)= (a^(−1)*a)y = e*y= y $

Questo per concludere che $G$ ha l'elemento neutro ed é un gruppo.

[killing_buddha]

"milos144":Proviamo a dare una risposta:

Se $ax=b$ e $ya=b $ ammettono soluzioni nel semigruppo $G$ allora $G$ é un gruppo.
Supposto che $ax=ya $ allora

$x = e*x = (a^(−1)*a)*x= a^(−1)*(ax) = a^(−1)*(ay)= (a^(−1)*a)y = e*y= y $

Questo per concludere che $G$ ha l'elemento neutro ed é un gruppo.

Cos'è $e$? Stai già supponendo esistano inversi e un elemento neutro.

Si fa, invece, così: se $ax=b, ya=b$ hanno sempre soluzione, se $a=b$ esiste, per ogni $a$, un $e_a$ tale che $e_aa=a=ae_a$. Del resto ora $e_a = e_{a'}$ per un ovvio risultato di unicità.

A questo punto per ogni $a$ esiste un $a'$ tale che $aa'=e=a'a$, dacché ogni elemento ha inverso.

Quindi $G$ era un gruppo.

[milos144]

Quindi le due equazioni hanno soluzione solo se $a=b$. Così é tutto più chiaro:
$ax=a$ e $ya=a$
Deve esistere quindi un $e_a$ tale che $e_a*a=a=e_a*a$

Da qui l'esistenza dell'elemento neutro $e$

Da qui, $e_a=e= a*a'$, l'esistenza dell'elemento inverso per ogni $a in G$

É cosí?

[killing_buddha]

"milos144":Quindi le due equazioni hanno soluzione solo se $a=b$.

No, assolutamente; hanno soluzione per ogni scelta di $a,b$; in particolare, per $a=b$. Poi hanno soluzione per ogni scelta di $a,b$; in particolare, per uno dei due uguale ad $e$.