Semigruppi e monoidi
Salve ragazzi, il mio studio procede bene e l'esame di matematica discreta e logica si fa sempre più vicino! Sono arrivato allo studio dei semigruppi e dei monoidi (molto simpatici) 
Ho qui due esercizi. Ho alcuni dubbi su entrambi. Il primo credo di averlo capito e spero di averlo risolto! Mentre sul secondo ho un dubbio sulle proprietà dei logaritmi che poi vi chiederò durante lo svolgimento.
1.1
a) Consideriamo l'insieme ${1,-1}$ con l'operazione prodotto $*$
$({1,-1}, * )$ è un semigruppo? E' anche un monoide?
b) Consideriamo i monoidi $(ZZ,+)$ e $({1,-1}, * )$ e la funzione $\psi:ZZ ->{1, -1}$
$\psi(a)={(1, text{se a è pari}),(-1, text{se a è dispari}):}$
$\psi$ è un omomorfismo di monoidi?
1.2
Consideriamo la funzione $\phi: RR^+\setminus{0} -> RR$ definita come $\phi(x):=log(x)$
Consideriamo $RR^+\setminus{0}$ con l'operazione $+$ ed $RR$ con l'operazione $*$
$(RR^+\setminus{0}, +), (RR, * )$
La funzione $\phi$ è un omomorfismo?
______
Soluzione 1.1
a)Per determinare se $({1,-1}, * )$ è un semigruppo dobbiamo verificare che sia valida la proprietà associativa. Ed è qui che mi sono bloccato inizialmente, pensando: nella proprietà associativa abbiamo bisogno di $a,b,c in {1,-1}$ ma qui abbiamo solo due elementi.. ma quando ho visto che nel punto b) questo insieme viene definito monoide allora ho pensato: "dev'essere per forza un semigruppo a meno che l'esercizio non mi stia traendo in inganno!". Allora ho messo in moto il mio piccolo cervellino e ho scritto:
dividiamo i due casi
1° Caso: $a=1, b=-1, c=1$
verifichiamo la proprietà associativa: $1*[(-1)*1)]= -1 =[1*(-1)]*1$
2° Caso: $a=1, b=-1, c=-1$
verifichiamo anche qui che sia associativa: $1*[(-1)*(-1)]= 1 =[1*(-1)]*(-1)$
E' un semigruppo!
Adesso per verificare che sia anche un monoide dobbiamo cercare l'esistenza di $e$ (l'elemento neutro), t.c. $a*e=a$
quindi scriviamo:
$a*e=a rArr e=a/a rArr e=1$ in entrambi i casi che $a$ valga $1$ oppure $-1$
b)Prendiamo i monoidi $(ZZ,+)$ e $({1,-1}, * )$ e la funzione $\psi:ZZ ->{1, -1}$
Per verificare che $\psi$ sia un omomorfismo di monoidi dobbiamo prima verificare che sia un omomorfismo!
Quindi dobbiamo verificare che $\psi(a+b) = \psi(a)*\psi(b)$ [questa è la verifica per l'omomorfismo, mentre per provare che sia un omomorfismo di monoidi bisogna trovare anche l'elemento neutro t.c. $\psi(a+e) = \psi(a)$ (giusto?
) ]
quindi tenendo presente che
$\psi(a)={(1, text{se a è pari}),(-1, text{se a è dispari}):}$
1° Caso: $a$ è pari
$[\psi(a+b) = 1] = [\psi(a)=1 * \psi(b)=1]$
$EE$ l'elemento neutro? No, perchè l'elemento neutro della somma è $0$ che non equivale a $\psi(a)$ che può assumere solo valori $1$ e $-1$ (giusto? )
2° Caso: $a$ è dispari
$[\psi(a+b) = -1] = [\psi(a)=(-1) * \psi(b)=1]$
Anche qui non esiste l'elemento neutro per lo stesso motivo del 1° caso (E poi se non sbaglio l'elemento neutro è unico
)
Non so se questo sia un buono svolgimento dell'esercizio però ci ho provato. Ho dei dubbi sull'ultima parte nella verifica dell'omomorfismo di monoidi.
Soluzione 1.2
Abbiamo $(RR^+\setminus{0}, +), (RR, * )$
con la funzione $\phi(x):=log(x)$
Per verificare che $\phi$ è un omomorfismo partiamo con la verifica che $\phi(a+b)=\phi(a) * \phi(b)$
quindi $log(a+b) = log(a) * log(b)$ (questo è vero? non so se questa uguaglianza sia vera, e se fosse così qualcuno potrebbe spiegarmela?)
Ho qui due esercizi. Ho alcuni dubbi su entrambi. Il primo credo di averlo capito e spero di averlo risolto! Mentre sul secondo ho un dubbio sulle proprietà dei logaritmi che poi vi chiederò durante lo svolgimento.
1.1
a) Consideriamo l'insieme ${1,-1}$ con l'operazione prodotto $*$
$({1,-1}, * )$ è un semigruppo? E' anche un monoide?
b) Consideriamo i monoidi $(ZZ,+)$ e $({1,-1}, * )$ e la funzione $\psi:ZZ ->{1, -1}$
$\psi(a)={(1, text{se a è pari}),(-1, text{se a è dispari}):}$
$\psi$ è un omomorfismo di monoidi?
1.2
Consideriamo la funzione $\phi: RR^+\setminus{0} -> RR$ definita come $\phi(x):=log(x)$
Consideriamo $RR^+\setminus{0}$ con l'operazione $+$ ed $RR$ con l'operazione $*$
$(RR^+\setminus{0}, +), (RR, * )$
La funzione $\phi$ è un omomorfismo?
______
Soluzione 1.1
a)Per determinare se $({1,-1}, * )$ è un semigruppo dobbiamo verificare che sia valida la proprietà associativa. Ed è qui che mi sono bloccato inizialmente, pensando: nella proprietà associativa abbiamo bisogno di $a,b,c in {1,-1}$ ma qui abbiamo solo due elementi.. ma quando ho visto che nel punto b) questo insieme viene definito monoide allora ho pensato: "dev'essere per forza un semigruppo a meno che l'esercizio non mi stia traendo in inganno!". Allora ho messo in moto il mio piccolo cervellino e ho scritto:
dividiamo i due casi
1° Caso: $a=1, b=-1, c=1$
verifichiamo la proprietà associativa: $1*[(-1)*1)]= -1 =[1*(-1)]*1$
2° Caso: $a=1, b=-1, c=-1$
verifichiamo anche qui che sia associativa: $1*[(-1)*(-1)]= 1 =[1*(-1)]*(-1)$
E' un semigruppo!
Adesso per verificare che sia anche un monoide dobbiamo cercare l'esistenza di $e$ (l'elemento neutro), t.c. $a*e=a$
quindi scriviamo:
$a*e=a rArr e=a/a rArr e=1$ in entrambi i casi che $a$ valga $1$ oppure $-1$
b)Prendiamo i monoidi $(ZZ,+)$ e $({1,-1}, * )$ e la funzione $\psi:ZZ ->{1, -1}$
Per verificare che $\psi$ sia un omomorfismo di monoidi dobbiamo prima verificare che sia un omomorfismo!
Quindi dobbiamo verificare che $\psi(a+b) = \psi(a)*\psi(b)$ [questa è la verifica per l'omomorfismo, mentre per provare che sia un omomorfismo di monoidi bisogna trovare anche l'elemento neutro t.c. $\psi(a+e) = \psi(a)$ (giusto?
) ]quindi tenendo presente che
$\psi(a)={(1, text{se a è pari}),(-1, text{se a è dispari}):}$
1° Caso: $a$ è pari
$[\psi(a+b) = 1] = [\psi(a)=1 * \psi(b)=1]$
$EE$ l'elemento neutro? No, perchè l'elemento neutro della somma è $0$ che non equivale a $\psi(a)$ che può assumere solo valori $1$ e $-1$ (giusto?
)2° Caso: $a$ è dispari
$[\psi(a+b) = -1] = [\psi(a)=(-1) * \psi(b)=1]$
Anche qui non esiste l'elemento neutro per lo stesso motivo del 1° caso (E poi se non sbaglio l'elemento neutro è unico
)Non so se questo sia un buono svolgimento dell'esercizio però ci ho provato. Ho dei dubbi sull'ultima parte nella verifica dell'omomorfismo di monoidi.
Soluzione 1.2
Abbiamo $(RR^+\setminus{0}, +), (RR, * )$
con la funzione $\phi(x):=log(x)$
Per verificare che $\phi$ è un omomorfismo partiamo con la verifica che $\phi(a+b)=\phi(a) * \phi(b)$
quindi $log(a+b) = log(a) * log(b)$ (questo è vero?
non so se questa uguaglianza sia vera, e se fosse così qualcuno potrebbe spiegarmela?)
Risposte
Nel primo esercizio, chi ti dice che a,b,c siano elementi diversi? Devi dimostrare che vale l'associativà per ogni a,b,c appartenti all'insieme. (Se non hai capito questo è inutile che ti correggo il resto per ora)
Ciao darkfog
Parto questa volta con il secondo esercizio (sempre per evitare confusione e volendo lavorare in ordine), lasciando la risoluzione completo del primo ad un thread successivo (concordo comunque con quanto scritto da Ernesto01).
Ti pongo una domanda: quella che hai scritto è una proprietà dei logaritmi Prova a vedere cosa succede ad esempio con $a = 10, b = 100$ e $10$ come base del logaritmo. La risposta ti sarà subito chiara 
.
Parto questa volta con il secondo esercizio (sempre per evitare confusione e volendo lavorare in ordine), lasciando la risoluzione completo del primo ad un thread successivo (concordo comunque con quanto scritto da Ernesto01).
Ti pongo una domanda: quella che hai scritto è una proprietà dei logaritmi
Prova a vedere cosa succede ad esempio con $a = 10, b = 100$ e $10$ come base del logaritmo. La risposta ti sarà subito chiara .
Ciao ragazzi, grazie per aver risposto. 
A volte mi sento un insulto alla matematica
Ciao Ernesto01, riguardo l'esercizio 1.1 la proprietà associativa devo verificarla per $a=b=c=1$ e poi per $a=b=c=-1$ ?
$1*(1*1)=1=(1*1)*1$
$(-1)*[(-1)*(-1)]=(-1)=[(-1)*(-1)]*(-1)$
Ciao onlyReferee, riguardo l'esercizio 1.2 quella non è una proprietà dei logaritmi e i risultati sono diversi. Si può concludere che $\phi$ non è un omomorfismo dicendo che $\phi(a+b)$ è diverso da $\phi(a) *\phi(b)$ ?
A volte mi sento un insulto alla matematica
Ciao Ernesto01, riguardo l'esercizio 1.1 la proprietà associativa devo verificarla per $a=b=c=1$ e poi per $a=b=c=-1$ ?
$1*(1*1)=1=(1*1)*1$
$(-1)*[(-1)*(-1)]=(-1)=[(-1)*(-1)]*(-1)$
Ciao onlyReferee, riguardo l'esercizio 1.2 quella non è una proprietà dei logaritmi e i risultati sono diversi. Si può concludere che $\phi$ non è un omomorfismo dicendo che $\phi(a+b)$ è diverso da $\phi(a) *\phi(b)$ ?
"darkfog":
Ciao ragazzi, grazie per aver risposto.
A volte mi sento un insulto alla matematica
[...]
Ciao darkfog
Tranquillo, è normalissimo all'inizio dell'università avere dei passaggi che non sono chiari. Servono appunto molti esercizi per prendere dimestichezza.
"darkfog":
[...]
Ciao onlyReferee, riguardo l'esercizio 1.2 quella non è una proprietà dei logaritmi e i risultati sono diversi. Si può concludere che $\phi$ non è un omomorfismo dicendo che $\phi(a+b)$ è diverso da $\phi(a) *\phi(b)$ ?
Esatto. Importante ovviamente fornisce giusto un controesempio numerico (assegnando dei valori ad $a$ e $b$) come ti suggerivo per mostrare che appunto non è vero il fatto che la funzione è omomorfismo.
"darkfog":
[...]
Ciao Ernesto01, riguardo l'esercizio 1.1 la proprietà associativa devo verificarla per $a=b=c=1$ e poi per $a=b=c=-1$ ?
$1*(1*1)=1=(1*1)*1$
$(-1)*[(-1)*(-1)]=(-1)=[(-1)*(-1)]*(-1)$
[...]
Mi permetto di intervenire anche riguardo a questo esercizio e parto dal punto a. Premetto che sia semigruppi che monoidi godono anche della chiusura rispetto all'operzione definita sull'insieme sostegno degli stessi e di fatto bisogna verificare anche quella. Per chiusura rispetto ad un'operazione si intende semplicemente che quando eseguo questa tra gli elementi del mio insieme ottengo nuovamente un elemento dello stesso.
Poi dobbiamo appunto verificare la proprietà associativa. Tale verifica va eseguita $\forall a, b, c \in \{-1, 1\}$. Dato che il nostro insieme è finito ed anche molto piccolo (soltanto due elementi) in questo caso è anche molto semplice eseguire la verifica per tutte le possibili combinazioni di elementi $a, b, c$ che possiamo mettere in relazione con l'operazione di prodotto. Ti mancano dunque un po' di casi da contemplare nella tua soluzione.
Per quanto riguarda l'esistenza dell'elemento neutro, ossia verificare che il nostro insieme con l'operazione prodotto sia anche monoide, il tuo svolgimento è corretto.
Passiamo al punto b iniziando dalla verifica che la funzione sia omomorfismo. Bisogna che contempli le possibili combinazioni di $a$ e $b$ pari/dispari (sono in tutto soltanto quattro verifiche), nel tuo svolgimento vedo che hai considerato soltanto due casi.
Un consiglio poi è di separare la verifica dell'esistenza dell'elemento neutro da quella della proprietà di essere omomorfismo. L'elemento neutro comunque esiste eccome, forse al momento non ti eri accorto che in $\mathbb{Z}$ esiste un elemento che è pari e che è...più particolare di tutti gli altri elementi (e qui ti ho dato un suggerimento
).
ciao onlyReferee!
Parto dalla parte più semplice
Per concludere in bellezza l'esercizio 1.2 allora uso i tuoi suggerimenti e scrivo:
la funzione $\phi$ non è un omomorfismo perchè $\phi(a+b) != \phi(a) * \phi(b)$, ad esempio prendendo $a=10$ e $b=100$ (come mi hai suggerito) abbiamo che $log(10+100) != log(10) * log(100)$
Mentre per l'esercizio 1.1
Per dimostrare che l'insieme è chiuso all'operazione prodotto basta prendere $a,bin{1,-1}$
$1*1=1$
$(-1)*(-1)=1$
$(-1)*1=(-1)$
$1*(-1)=(-1)$
In tutti i casi si ottiene sempre un elemento contenuto nell'insieme ${1,-1}$
Per verificare tutti i casi della proprietà associativa costruisco una tabella:
E provo che per ogni riga della tabella, la proprietà associativa è verificata
$AAa,b,cin{1,-1}$ t.c. $a*(b*c) = (a*b)*c$
Siamo di fronte ad un semigruppo, e dato che abbiamo anche trovato l'elemento neutro $e=1$ concludo il punto a) dicendo che $({1,-1}, * )$ è un monoide.
Passo al punto b) Verifichiamo che $\psi:ZZ -> {1,-1}$ sia un omomorfismo
$(ZZ, +), ({1,-1}, * )$
dato che $\psi(a)={(1,text{se a è pari}),(-1, text{se a è dispari}):}$
Anche qui come mi hai suggerito devo distinguere 4 casi
Denoto Dispari$:=$D, Pari$:=$P
Sapendo che $P+P=P, D+D=P, P+D=D, D+P=D$
1) $\psi(a+b)=\psi(a) * \psi(b) rArr 1 = 1 * 1$ (a Pari, b Pari)
2) $\psi(a+b)=\psi(a) * \psi(b) rArr 1 = (-1)*(-1)$ (a Dispari, b Dispari)
3) $\psi(a+b)=\psi(a) * \psi(b) rArr -1 = 1 * (-1)$ (a Pari, b Dispari)
4) $\psi(a+b)=\psi(a) * \psi(b) rArr -1 = (-1) * 1$ (a Dispari, b Pari)
Quindi è un omomorfismo. Ora cerco l'elemento neutro per verificare che sia un omomorfismo di monoidi
quindi $\psi(e_ZZ) = e_{{1,-1}}$
l'elemento neutro dell'operazione somma in $ZZ$ è lo $0$
e lo verifico calcolando $a+e=e+a=a rArr a+e=a rArr e=0$
Mentre l'elemento neutro del prodotto in ${1,-1}$ come abbiamo verificato nel punto a) è $1$
quindi (con il tuo suggerimento) arrivo a dire che $\psi(0)=1$
Quindi abbiamo verificato che si tratta di un omomorfismo di monoidi!
E' corretto?
Parto dalla parte più semplice
Per concludere in bellezza l'esercizio 1.2 allora uso i tuoi suggerimenti e scrivo:la funzione $\phi$ non è un omomorfismo perchè $\phi(a+b) != \phi(a) * \phi(b)$, ad esempio prendendo $a=10$ e $b=100$ (come mi hai suggerito) abbiamo che $log(10+100) != log(10) * log(100)$
Mentre per l'esercizio 1.1
Per dimostrare che l'insieme è chiuso all'operazione prodotto basta prendere $a,bin{1,-1}$
$1*1=1$
$(-1)*(-1)=1$
$(-1)*1=(-1)$
$1*(-1)=(-1)$
In tutti i casi si ottiene sempre un elemento contenuto nell'insieme ${1,-1}$
Per verificare tutti i casi della proprietà associativa costruisco una tabella:
| a | b | c |
|---|---|---|
| 1 | 1 | -1 |
| -1 | 1 | 1 |
| 1 | -1 | -1 |
| 1 | 1 | -1 |
| 1 | 1 | -1 |
| -1 | 1 | -1 |
E provo che per ogni riga della tabella, la proprietà associativa è verificata
$AAa,b,cin{1,-1}$ t.c. $a*(b*c) = (a*b)*c$
Siamo di fronte ad un semigruppo, e dato che abbiamo anche trovato l'elemento neutro $e=1$ concludo il punto a) dicendo che $({1,-1}, * )$ è un monoide.
Passo al punto b) Verifichiamo che $\psi:ZZ -> {1,-1}$ sia un omomorfismo
$(ZZ, +), ({1,-1}, * )$
dato che $\psi(a)={(1,text{se a è pari}),(-1, text{se a è dispari}):}$
Anche qui come mi hai suggerito devo distinguere 4 casi
| a | b |
|---|---|
| PARI | DISPARI |
| PARI | DISPARI |
| PARI |
Denoto Dispari$:=$D, Pari$:=$P
Sapendo che $P+P=P, D+D=P, P+D=D, D+P=D$
1) $\psi(a+b)=\psi(a) * \psi(b) rArr 1 = 1 * 1$ (a Pari, b Pari)
2) $\psi(a+b)=\psi(a) * \psi(b) rArr 1 = (-1)*(-1)$ (a Dispari, b Dispari)
3) $\psi(a+b)=\psi(a) * \psi(b) rArr -1 = 1 * (-1)$ (a Pari, b Dispari)
4) $\psi(a+b)=\psi(a) * \psi(b) rArr -1 = (-1) * 1$ (a Dispari, b Pari)
Quindi è un omomorfismo. Ora cerco l'elemento neutro per verificare che sia un omomorfismo di monoidi
quindi $\psi(e_ZZ) = e_{{1,-1}}$
l'elemento neutro dell'operazione somma in $ZZ$ è lo $0$
e lo verifico calcolando $a+e=e+a=a rArr a+e=a rArr e=0$
Mentre l'elemento neutro del prodotto in ${1,-1}$ come abbiamo verificato nel punto a) è $1$
quindi (con il tuo suggerimento) arrivo a dire che $\psi(0)=1$
Quindi abbiamo verificato che si tratta di un omomorfismo di monoidi!
E' corretto?
Tutto corretto, riscriverei soltanto meglio l'ultimo punto. Sappiamo infatti, come hai correttamente scritto in un tuo post precedente, come in un omomorfismo di monoidi $\psi: (A, +) \rightarrow (B, \cdot)$ se $e \in A$ è l'elemento neutro di $A$ allora accade che $\psi(a) = \psi(a + e) \forall a \in A$ 
.
Il fatto che $\psi(0) = 1$ non ci è utile in generale nel senso che si possono trovare numerosi altri omomorfismi di monoidi in cui l'elemento neutro del primo monoide non viene necessariamente mappato nel corrispettivo del secondo.
.Il fatto che $\psi(0) = 1$ non ci è utile in generale nel senso che si possono trovare numerosi altri omomorfismi di monoidi in cui l'elemento neutro del primo monoide non viene necessariamente mappato nel corrispettivo del secondo.
Woooooooooooo! Sono felicissimo grazie mille per i suggerimenti 
Allora completando l'ultima parte del primo esercizio scriverei così (correggimi):
$\psi(a+e) = \psi(a)$
Se $a$ è Pari $rArr \psi(a+0) = \psi(a) rArr \psi(a)=1$
Se $a$ è Dispari $rArr \psi(a+0) = \psi(a) rArr \psi(a)= -1$
Allora completando l'ultima parte del primo esercizio scriverei così (correggimi):
$\psi(a+e) = \psi(a)$
Se $a$ è Pari $rArr \psi(a+0) = \psi(a) rArr \psi(a)=1$
Se $a$ è Dispari $rArr \psi(a+0) = \psi(a) rArr \psi(a)= -1$
Cool Molto bene direi
Molto bene direi
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