Segno di un ciclo di lunghezza $d$
Buonasera,io so che, se considero $sigma$ permutazione, allora $sigma$ è il prodotto di $p$ trasposizioni, dunque il segno di $sigma$ è dato dal prodotto dei segni delle trasposizione, cioé, se $f$ trasposizione si ha $sgn(f)=-1$, dunque, si ha $sgn(sigma)=(-1)^p$
Ora, mi chiedo se $alpha$ è un ciclo di lunghezza $1ledlen$, allora $sgn(alpha)=(-1)^(d-1)$
Banalmente- vero per $d=1$ perché in tal caso $alpha$ è la permutazione identità, quindi rimane invariata.
Nel caso in cui $alpha$ abbia una lunghezza $d=2$ si ha un ciclo di lunghezza $2$, cioé si ha una trasposizione, allora
Voglio provare per un $d>2$ Ho provato per induzione
Ipotesi induttiva: Sia $sgn(alpha)=(-1)^(d'-1)$ con $2
Per come è stato definito si ha necessariamente che
dunque, si ha
Può andare bene ?
Ciao
Ora, mi chiedo se $alpha$ è un ciclo di lunghezza $1ledlen$, allora $sgn(alpha)=(-1)^(d-1)$
Banalmente- vero per $d=1$ perché in tal caso $alpha$ è la permutazione identità, quindi rimane invariata.
Nel caso in cui $alpha$ abbia una lunghezza $d=2$ si ha un ciclo di lunghezza $2$, cioé si ha una trasposizione, allora
$sgn(alpha)=(-1)^(d-1)=sgn(alpha)=(-1)^(2-1)=sgn(alpha)=-1$
Voglio provare per un $d>2$ Ho provato per induzione
Ipotesi induttiva: Sia $sgn(alpha)=(-1)^(d'-1)$ con $2
Per come è stato definito si ha necessariamente che
$sgn(alpha)=(-1)^(d'-1)= { ( -1\qquad\qquad\mbox{se }d'\mbox{ pari} ),( 1 \qquad\ \mbox{se }d'\mbox{ dispari}):} $
dunque, si ha
$sgn(alpha)=(-1)^(d-1)=(-1)^(d'+1-1)=(-1)^(d')={ ( 1\qquad\qquad\mbox{se }d'\mbox{ pari} ),( -1 \qquad\ \mbox{se }d'\mbox{ dispari}):} $
Può andare bene ?
Ciao
Risposte
Francamente non si capisce molto di quello che hai scritto. Ma comunque puoi vederlo direttamente perchè $(1,2,\ldots, n)=(1,n)(1,n-1)\ldots (1,2)$.
Ciao hydro, cercherò di essere più chiaro.
Il mio problema, se si può chiamare problema, è
$Sigma_n$ insieme delle permutazione su $I_n={1,2,...,n}$
Sia $alpha in Sigma_n$ un ciclo di lunghezza $d$ con $1ledlen$, allora mi chiedo $sgn(alpha)=(-1)^(d-1)$
Per dimostrarla, ho tenuto conto del fatto, che il segno di una trasposizione è sempre uguale ad $-1$, dopodiché,
mi è venuto spontaneo verificare se
$d=1$ allora abbiamo un ciclo di lunghezza $1$, cioè abbiamo $alpha(a_j)=a_j$ con $j=1,...,n$.
In altre parole abbiamo l'identità, quindi, $sgn(alpha)=sgn(id)=1$, per cui è vero $sgn(alpha)=(-1)^(d-1)$ quando $d=1$.
$d=2$ allora abbiamo un ciclo di lunghezza $2$, cioè esistono $a_1, a_2 in I_n$ tali che $alpha(a_1)=a_2, alpha(a_2)=a_1$ e $alpha(a_j)=a_j forall j in I_n-{a_1,a_2}$, da questo segue che un ciclo di lunghezza $2$ altro non è una trasposizione.
Come detto su, la trasposizione ha segno sempre uguale a $-1$, per cui ancora vale $sgn(alpha)=(-1)^(d-1)$ quando $d=2$.
Per provarlo per un generico $2
Ipotesi induttiva: Sia $ sgn(alpha)=(-1)^(d'-1) $ con $ 2
Infatti
dunque, si ha
Fine.
Con questo simbolo
Ciao
Il mio problema, se si può chiamare problema, è
$Sigma_n$ insieme delle permutazione su $I_n={1,2,...,n}$
Sia $alpha in Sigma_n$ un ciclo di lunghezza $d$ con $1ledlen$, allora mi chiedo $sgn(alpha)=(-1)^(d-1)$
Per dimostrarla, ho tenuto conto del fatto, che il segno di una trasposizione è sempre uguale ad $-1$, dopodiché,
mi è venuto spontaneo verificare se
$d=1$ allora abbiamo un ciclo di lunghezza $1$, cioè abbiamo $alpha(a_j)=a_j$ con $j=1,...,n$.
In altre parole abbiamo l'identità, quindi, $sgn(alpha)=sgn(id)=1$, per cui è vero $sgn(alpha)=(-1)^(d-1)$ quando $d=1$.
$d=2$ allora abbiamo un ciclo di lunghezza $2$, cioè esistono $a_1, a_2 in I_n$ tali che $alpha(a_1)=a_2, alpha(a_2)=a_1$ e $alpha(a_j)=a_j forall j in I_n-{a_1,a_2}$, da questo segue che un ciclo di lunghezza $2$ altro non è una trasposizione.
Come detto su, la trasposizione ha segno sempre uguale a $-1$, per cui ancora vale $sgn(alpha)=(-1)^(d-1)$ quando $d=2$.
Per provarlo per un generico $2
Ipotesi induttiva: Sia $ sgn(alpha)=(-1)^(d'-1) $ con $ 2
Infatti
$ sgn(alpha)=(-1)^(d'-1)= { ( -1\qquad\qquad\mbox{se }d'\mbox{ pari} ),( 1 \qquad\ \mbox{se }d'\mbox{ dispari}):} $
dunque, si ha
$ sgn(alpha)=(-1)^(d-1)=(-1)^(d'+1-1)=(-1)^(d')={ ( 1\qquad\qquad\mbox{se }d'\mbox{ pari} ),( -1 \qquad\ \mbox{se }d'\mbox{ dispari}):} $
Fine.
Con questo simbolo
"hydro":Cosi si intende ?
$ (1,2,\ldots, n)=(1,n)(1,n-1)\ldots (1,2) $.
Ciao
"Yuyu_13":
Ciao hydro, cercherò di essere più chiaro.
Il mio problema, se si può chiamare problema, è
$Sigma_n$ insieme delle permutazione su $I_n={1,2,...,n}$
Sia $alpha in Sigma_n$ un ciclo di lunghezza $d$ con $1ledlen$, allora mi chiedo $sgn(alpha)=(-1)^(d-1)$
Questo l'ho capito ed è giusto, ma la tua dimostrazione per induzione non si capisce affatto, e direi che non può essere giusta perchè da qualche parte deve contenere l'informazione che se hai un ciclo di lunghezza $d$ allora lo puoi scrivere come prodotto di una cosa che ha segno $(-1)^{d-1}$ e una trasposizione.
Ma non c'è bisogno di usare l'induzione, come ti ho mostrato. La prova è lunga mezza riga, e sta nell'uguaglianza che ti ho scritto.
"Yuyu_13":Cosi si intende ?
Con questo simbolo [quote="hydro"]$ (1,2,\ldots, n)=(1,n)(1,n-1)\ldots (1,2) $.
Ciao[/quote]
Si intende che un ciclo di lunghezza $n$ lo puoi scrivere come prodotto di $n-1$ trasposizioni, da cui il tuo claim.
"hydro":
Questo l'ho capito ed è giusto, ma la tua dimostrazione per induzione non si capisce affatto, e direi che non può essere giusta perchè da qualche parte deve contenere l'informazione che se hai un ciclo di lunghezza $ d $ allora lo puoi scrivere come prodotto di una cosa che ha segno $ (-1)^{d-1} $ e una trasposizione.
Grazie che me l'hai fatto notare
"hydro":
Si intende che un ciclo di lunghezza $ n $ lo puoi scrivere come prodotto di $ n-1 $ trasposizioni, da cui il tuo claim.
Ho capito, però c'è un problema, devo dimostrare prima che un ciclo di lunghezza $ n $ lo puoi scrivere come prodotto di $ n-1 $ trasposizioni, non saprei da dove iniziare... induzione ?
Come già detto, se $n=2$, allora è una trasposizione.
Dopodiché non saprei come continuare.
Grazie
"Yuyu_13":
Ho capito, però c'è un problema, devo dimostrare prima che un ciclo di lunghezza $ n $ lo puoi scrivere come prodotto di $ n-1 $ trasposizioni,
Di nuovo, una dimostrazione di questo fatto è semplicemente l'uguaglianza $(1,2,\ldots, n)=(1,n)(1,n-1)\ldots (1,2)$.
Scusami, cosa si intende con quella la scrittura io non so proprio come procedere.
Tu hai scritto $(1,2,...,n)=(1,n)(1,n-1),...,(1,2)$ cosa significa?
Se $n=3$ allora $(1,2,3)=(1,3)(1,2)$ e poi ?
Sempre con $n=3$ il simbolo $(1,2,3)$ ha lo stesso significato $(1,3,2)$ ?
Tu hai scritto $(1,2,...,n)=(1,n)(1,n-1),...,(1,2)$ cosa significa?
Se $n=3$ allora $(1,2,3)=(1,3)(1,2)$ e poi ?
Sempre con $n=3$ il simbolo $(1,2,3)$ ha lo stesso significato $(1,3,2)$ ?
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