Secondo teorema d'omomorfismo di gruppi

[Lord K]

Leggendo le Note di Algebra di Martino mi è sovvenuto un simpatico lemma nel quale però sono convinto si trovi un errore, mi aiutate a trovarlo?

Ambiente: Sia [tex]\mathbb Z \times G[/tex] il prodotto diretto tra il gruppo degli interi con la somma ed un gruppo finito [tex]G[/tex].

Osservazioni:

1) Tutti i sottogruppi normali di [tex]\mathbb Z \times G[/tex] sono del tipo [tex]n \mathbb Z \times N[/tex] , dove [tex]N \unlhd G[/tex];
2) [tex]\mathbb Z \times \{e_G\} \unlhd \mathbb Z \times G[/tex] (anche se mi basta [tex]\mathbb Z \times \{e_G\} \leq \mathbb Z \times G[/tex])

Conclusione:

Dal secondo teorema d'omomorfismo ho che:

[tex]\frac{\mathbb Z \times \{e_G\}}{(\mathbb Z \times \{e_G\}) \cap (n\mathbb Z \times N)} \simeq \frac{(\mathbb Z \times \{e_G\})(n\mathbb Z \times N)}{n\mathbb Z \times N}[/tex]

si evince che:

[tex]\frac{(\mathbb Z \times \{e_G\})(n\mathbb Z \times N)}{n\mathbb Z \times N} \simeq \{e_{Z}\}\times\{e_g\}[/tex]

ma anche:

[tex]\frac{\mathbb Z \times \{e_G\}}{(\mathbb Z \times \{e_G\}) \cap (n\mathbb Z \times N)} \simeq \frac{\mathbb Z \times \{e_G\}}{n\mathbb Z \times \{e_G\}} \neq \{e_{Z}\}\times\{e_g\}[/tex]

P.S. Posso aver fatto qualche errore ma la cosa si è partorita rapidamente...

[Studente Anonimo]

"Lord K":[tex]\frac{(\mathbb Z \times \{e_G\})(n\mathbb Z \times N)}{n\mathbb Z \times N} \simeq \{e_{Z}\}\times\{e_g\}[/tex]

Attento qui: l'operazione in $ZZ$ e' la $+$ e $ZZ+nZZ=ZZ$.

[Lord K]

Ragionissima!!! Grazie