Se \( X\cong A\amalg B \) allora \( X = A\cup B \) con \( A\cap B = \emptyset \)

[marco2132k]

Ciao. Scusate ma ho un dubbio veramente stupido. Se ho un insieme \( X \) e due suoi sottoinsiemi \( A \) e \( B \), e so che esiste una biiezione tra \( X \) e \( A\amalg B = A\times \{0\}\cup B\times \{1\} \), posso affermare che \( X = A\cup B \) e \( A\cap B = \emptyset \)?

[Martino]

Ovviamente no Per esempio prendi $X={1,2,3}$, $A={1,2}$, $B={2}$.

[marco2132k]

Grr. Ora sto uscendo e non ho tempo di verificare, ma è vero che se invece esiste un isomorfismo \( \phi\colon A\amalg B\to X \) tale
\[
\begin{CD}
A @>{\iota^A}>> A\amalg B @<<{\iota^B}< B\\
@| @V{\phi} VV @|\\
A @>{i^A}>> X @<<{i^B}< B\\
\end{CD}
\] commuti allora quello che chiedo è vero?

[Martino]

Beh se quel diagramma commuta allora stai semplicemente dicendo che [tex]A \amalg B \to X[/tex] che manda $(a,0)$ in $a$ e $(b,1)$ in $b$ è biiettiva. La suriettività implica che $A uu B = X$. L'iniettività implica che $A nn B = emptyset$. Quindi sì.

[marco2132k]

Eh, la testa non è più quella di quando avevo vent'anni...

(Grazie, e scusa per le domande stupide!)