Se una funzione non è iniettiva, la cardinalità dell'immagine è minore della cardinalità dell'insieme di partenza
Ciao, mi scuso per la domanda banale, ma dovrei dimostrare che se una funzione non è iniettiva, allora la cardinalità dell'immagine è minore della cardinalità dell'insieme di partenza. È facile verificarlo "graficamente" ma non riesco a formalizzarlo.
Più formalmente, sia
$f: A \to B$ una funzione non iniettiva, allora
$|Im(f)| < |A|$
Grazie mille per l'attenzione e vi ringrazio in anticipo
Più formalmente, sia
$f: A \to B$ una funzione non iniettiva, allora
$|Im(f)| < |A|$
Grazie mille per l'attenzione e vi ringrazio in anticipo
Risposte
Cè una funzione iniettiva ovvia tra l’immagine di f e il suo dominio: quozienta A per la relazione x~y sse f(x)=f(y) (di modo che le classi di equivalenza siano tutte e sole le fibre di f); allora questa funzione mappa l’elemento f(x) dell’immagine di f in un qualsiasi rappresentante della classe di x per la relazione ~.
Ah be, questo ovviamente lo puoi dire sempre; che se f è iniettiva allora |A|=|Im f| poi lo puoi far seguire da CSB (anche se è ovvissimo di suo).
Ah be, questo ovviamente lo puoi dire sempre; che se f è iniettiva allora |A|=|Im f| poi lo puoi far seguire da CSB (anche se è ovvissimo di suo).
"daffeen":potrebbe essere che col non riuscirci c'entri il fatto che è falso...
Ciao, mi scuso per la domanda banale, ma dovrei dimostrare che se una funzione non è iniettiva, allora la cardinalità dell'immagine è minore della cardinalità dell'insieme di partenza. È facile verificarlo "graficamente" ma non riesco a formalizzarlo.
"solaàl":potrebbe essere che col non riuscirci c'entri il fatto che è falso...[/quote]
[quote="daffeen"]Ciao, mi scuso per la domanda banale, ma dovrei dimostrare che se una funzione non è iniettiva, allora la cardinalità dell'immagine è minore della cardinalità dell'insieme di partenza. È facile verificarlo "graficamente" ma non riesco a formalizzarlo.
Ho dimenticato di dire "In insiemi finiti".
Negli insiemi finiti iniettività e suriettivita sono la stessa cosa. Perché è falso? :o
"marco2132k":...? Non sono la stessa cosa.
Negli insiemi finiti iniettività e suriettivita sono la stessa cosa. Perché è falso?
Se $|A| = alpha$ e $f:A -> B$ non è iniettiva, esiste almeno un paio $a != b in A$ tale che $f(a) = f(b)$.
Conseguentemente, in $f(A) = \{ f(x),\ x in A\}$ c'è almeno un elemento che si ripete e perciò $|f(A) |<= alpha - 1$. Intuitivamente funziona, potresti pensare di metterlo a posto.
Oppure, ragiona per assurdo.
Supponi che $|f(A)| >= |A|$ e derivane una contraddizione.
Conseguentemente, in $f(A) = \{ f(x),\ x in A\}$ c'è almeno un elemento che si ripete e perciò $|f(A) |<= alpha - 1$. Intuitivamente funziona, potresti pensare di metterlo a posto.
Oppure, ragiona per assurdo.
Supponi che $|f(A)| >= |A|$ e derivane una contraddizione.
"marco2132k":
Negli insiemi finiti iniettività e suriettivita sono la stessa cosa. Perché è falso?
Proprio perché non c'era scritto da nessuna parte che gli insiemi dovessero essere finiti!
Che palle, devo imparare a far la fatica di leggere le domande prima di rispondere. 
Scusa un attimo ma se \( f\colon X\to Y \) non è iniettiva, per qualche \( y\in f_*(X) \) c'è più di un \( x\in f^*(y) \); che problema hai a sceglierne uno e uno solo al variare di \( y\in f_*(X) \)?
Scusa un attimo ma se \( f\colon X\to Y \) non è iniettiva, per qualche \( y\in f_*(X) \) c'è più di un \( x\in f^*(y) \); che problema hai a sceglierne uno e uno solo al variare di \( y\in f_*(X) \)?
Posso chiedere all'autore del topic come definisce la cardinalità?
"Martino":...? Non sono la stessa cosa.[/quote]
[quote="marco2132k"]Negli insiemi finiti iniettività e suriettivita sono la stessa cosa. Perché è falso?
???? Aggiungo punti interrogativi a quello di Martino.
Una funzione da un insieme finito in sé stesso è iniettiva se e solo se è suriettiva. Questo, voleva dire.
"solaàl":
Una funzione da un insieme finito in sé stesso è iniettiva se e solo se è suriettiva. Questo, voleva dire.
Aaaah, ecco, mi pareva strano...
Visto che è una roba che si è già citata centoquattordici volte su questo forum, dimostràtelo. (Ci sono molti modi di farlo)
"solaàl":
Visto che è una roba che si è già citata centoquattordici volte su questo forum, dimostràtelo. (Ci sono molti modi di farlo)
Ma dici a me solaàl? O a l'OP?
A chiunque non l'abbia fatto almeno una volta, è istruttivo.
L'ho fatto venti anni fa, e al momento è al di fuori dei miei interessi, ora cercavo solo di capire che stava dicendo Marco...
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