Se tutti i sottogruppi di Sylow sono ciclici allora G è supersolubile
Ho provato a fare questo esercizio: sia $G$ un gruppo finito che ha tutti i suoi sottogruppi di Sylow ciclici allora devo provare che $G$ è supersolubile, ovvero che $G$ ammette una serie principale che ha tutti i fattori con ordine primo.
Tentativo
Procedo per induzione su $|G|$. Siano $p_1
Visto che $p_1$ è il più piccolo primo che divide $|G|$ so, per un fatto che ho già provato, che esiste $K$ normale in $G$, tale che $G=K\rtimes P_1$ (e quindi $K=P_2 P_3...P_n$).
Ora applico a $K$ l'ipotesi induttiva.
Ho quindi $1\lt K_1 \lt ...\lt K_s \lt K$ serie normale che ha fattori con ordine primo.
Ora so che $G/K = P_1$ è un p-gruppo abeliano e quindi posso considerare i sotttogruppi $H_i/K \leq G/K$ con $|H_i/K|=p_1^i$ per $i=1,...,n_1-1$ e $|P_1|=p_1^{n_1}$.
Ho quindi $1\lt K_1\lt ...\lt K_s \lt K \lt H_1 ...\lt H_{n_1-1} \lt G$ serie normale di $G$ con fattori di ordine primo.
Il mio problema: Non mi riesce dimostrare che i $K_i$ sono normali in tutto $G$. Come posso fare? Posso usare in qualche modo il fatto che $K$ è caratteristico in $G$?
Grazie per l'aiuto!
Tentativo
Procedo per induzione su $|G|$. Siano $p_1
Visto che $p_1$ è il più piccolo primo che divide $|G|$ so, per un fatto che ho già provato, che esiste $K$ normale in $G$, tale che $G=K\rtimes P_1$ (e quindi $K=P_2 P_3...P_n$).
Ora applico a $K$ l'ipotesi induttiva.
Ho quindi $1\lt K_1 \lt ...\lt K_s \lt K$ serie normale che ha fattori con ordine primo.
Ora so che $G/K = P_1$ è un p-gruppo abeliano e quindi posso considerare i sotttogruppi $H_i/K \leq G/K$ con $|H_i/K|=p_1^i$ per $i=1,...,n_1-1$ e $|P_1|=p_1^{n_1}$.
Ho quindi $1\lt K_1\lt ...\lt K_s \lt K \lt H_1 ...\lt H_{n_1-1} \lt G$ serie normale di $G$ con fattori di ordine primo.
Il mio problema: Non mi riesce dimostrare che i $K_i$ sono normali in tutto $G$. Come posso fare? Posso usare in qualche modo il fatto che $K$ è caratteristico in $G$?
Grazie per l'aiuto!
Risposte
Considera il seguente enunciato. Se i sottogruppi di Sylow di G sono ciclici allora G ammette una serie caratteristica con fattori di ordine p. Prova a dimostrare questo.
Io allora procederei per induzione.
Trovo il sottogruppo $K$ come sopra che è caratteristico in G. Ora i $K_i$ sono caratteristici in $K$ per ipotesi induttiva .
Gli $H_i$ li scelgo sempre come sopra e posso dire che sono caratteristici in $G$ per il fatto che $P_1$ è ciclico e quindi ha uno e un solo sottogruppo per ogni divisore (i sottogruppi di un ciclico sono caratteristici e se $H/K$ è caratteristico in $G/K$ allora $H$ è caratteristico in $G$).
Poi concludo usando la transitività della proprietà di essere caratteristici.
Potrebbe andare così?
Grazie mille davvero per l'aiuto!
Trovo il sottogruppo $K$ come sopra che è caratteristico in G. Ora i $K_i$ sono caratteristici in $K$ per ipotesi induttiva .
Gli $H_i$ li scelgo sempre come sopra e posso dire che sono caratteristici in $G$ per il fatto che $P_1$ è ciclico e quindi ha uno e un solo sottogruppo per ogni divisore (i sottogruppi di un ciclico sono caratteristici e se $H/K$ è caratteristico in $G/K$ allora $H$ è caratteristico in $G$).
Poi concludo usando la transitività della proprietà di essere caratteristici.
Potrebbe andare così?
Grazie mille davvero per l'aiuto!
Esatto. Prego!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo