Se $G$ ha $n>0$ elementi di ord. $p$ primo, allora $p|n+1
Eccovi un bel problema sui gruppi: se $G$ è un gruppo finito che possiede esattamente $n$ elementi di ordine $p$ primo, allora $n=0$ o $p|n+1$.
Suggerimento: potebbe essere utile il volume 66 dell'American Mathematical Monthly, pag 119, anno 1959 (febbraio).
Suggerimento: potebbe essere utile il volume 66 dell'American Mathematical Monthly, pag 119, anno 1959 (febbraio).
Risposte
Quindi dici che non esistono dimostrazioni elementari?
"alvinlee88":
Suggerimento: potebbe essere utile il volume 66 dell'American Mathematical Monthly, pag 119, anno 1959 (febbraio).
ghgh alvinlee88......... oramai stai diventando un matematico professionista!
Stai parlando dell'articolo "James McKay. Another proof of Cauchy's group theorem, American Math. Monthly, 66 (1959), p. 119."... E' la dimostrazione che usa le p-tuple e l'azione?
Non penso che sia necessario semplicemente Cauchy ma piuttosto il metodo...
Ora comunque non ho tempo di pensarci posto la mia risposta più tardi...
Non penso che sia necessario semplicemente Cauchy ma piuttosto il metodo...
Ora comunque non ho tempo di pensarci posto la mia risposta più tardi...
@vict85
Esattamente come dici tu, l articolo e quello e l essenziale e appunto il metodo di dimostrazione, non tanto il teorema di cauchy.
@martino
Ho scritto di quell articolo perche sono riuscito a risolvere questo problema dopo aver letto quel metodo di dimostrazione (in effetti, basta leggere quella dimostrazione e il problema si risolve da solo). E quella dimostrazione e molto elementare, usa solo concetti di ordine di un elemento e di relazione di equivalenza, quindi si, direi che esistono metodi elementari ed eleganti.
Se pero conoscete altre risoluzioni, sono curioso.
P.S. cmq quel suggerimento voleva essere un po ironico, confidente nella difficolta intrinseca legata al reperire quel volume
Esattamente come dici tu, l articolo e quello e l essenziale e appunto il metodo di dimostrazione, non tanto il teorema di cauchy.
@martino
Ho scritto di quell articolo perche sono riuscito a risolvere questo problema dopo aver letto quel metodo di dimostrazione (in effetti, basta leggere quella dimostrazione e il problema si risolve da solo). E quella dimostrazione e molto elementare, usa solo concetti di ordine di un elemento e di relazione di equivalenza, quindi si, direi che esistono metodi elementari ed eleganti.
Se pero conoscete altre risoluzioni, sono curioso.
P.S. cmq quel suggerimento voleva essere un po ironico, confidente nella difficolta intrinseca legata al reperire quel volume
Pensando ad una dimostrazione alternativa metto la dimostrazione basata sullo stesso metodo da te proposto...
Ripetendo il procedimento si arriva al seguente risultato:
$n+1 = |G|^{p-1} - sp$ dove $s$ è un qualche numero intero non negativo.
Ora se $p$ non divide $|G|$ allora $n$ è ovviamente $0$.
Quindi $p$ divide $|G|$ e quindi $p|n+1$
Ripetendo il procedimento si arriva al seguente risultato:
$n+1 = |G|^{p-1} - sp$ dove $s$ è un qualche numero intero non negativo.
Ora se $p$ non divide $|G|$ allora $n$ è ovviamente $0$.
Quindi $p$ divide $|G|$ e quindi $p|n+1$
@vict85
la dim è giusta, resto in attesa di qualche altro metodo (se esiste)!. Comunque:
$|G|^{p-1} =1+n+sp$ dove $s$ è un qualche numero intero non negativo e $n$ il numero di elementi di ordine $p$ primo, mi sembra una formula piuttosto potente, e interessante di per se.
la dim è giusta, resto in attesa di qualche altro metodo (se esiste)!. Comunque:
$|G|^{p-1} =1+n+sp$ dove $s$ è un qualche numero intero non negativo e $n$ il numero di elementi di ordine $p$ primo, mi sembra una formula piuttosto potente, e interessante di per se.
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