Scomposizione polinomio in fattori irriducibili
ciao,
non riesco a scomporre in fattori irriducibili il polinomio $a(x)=10x^4-7x^3+1$ nell'anello di polinomi $\mathbb{Z}_3[x]$.
vi dico cosa ho provato a fare: per prima cosa ho riscritto meglio i coefficienti del polinomio ottenendo $a(x)=[1]_3x^4+[2]_3x^2+[1]_3$. poi ho posto $t=x^2$ ottenendo $b(x)=[1]_3t^2+[2]_3t+[1]_3$. a questo punto, se fossi in $R[x]$, effettuerei la scomposizione $b(x)=(t-1)^2$ ma non credo che tale passaggio sia lecito anche in $\mathbb{Z}_3[x]$. come posso procedere a questo punto?
grazie.
non riesco a scomporre in fattori irriducibili il polinomio $a(x)=10x^4-7x^3+1$ nell'anello di polinomi $\mathbb{Z}_3[x]$.
vi dico cosa ho provato a fare: per prima cosa ho riscritto meglio i coefficienti del polinomio ottenendo $a(x)=[1]_3x^4+[2]_3x^2+[1]_3$. poi ho posto $t=x^2$ ottenendo $b(x)=[1]_3t^2+[2]_3t+[1]_3$. a questo punto, se fossi in $R[x]$, effettuerei la scomposizione $b(x)=(t-1)^2$ ma non credo che tale passaggio sia lecito anche in $\mathbb{Z}_3[x]$. come posso procedere a questo punto?
grazie.
Risposte
Osserva che in prima battuta:
$a(x)=10x^4-7x^3+1 = [1]_3*x^4-[1]_3*x^3+1$
poi mediante il piccolo teorema di Fermat $x^3-=x mod3$
$a(x)-= x^4-x^3+1-= x^2-x+1-= x^2+2x+1 -= (x+1)^2 mod 3$
Da cui vediamo che l'unica radice possibile è $2(3)$. Avremo che:
$a(x)= (x+1)(x^3+x^2-x+1)$
da qui vediamo che:
$x^3+x^2-x+1-= x^2+1 mod3 $
ovvero che è un polinomio irriducibile. La scomposizione è dunque terminata.
$a(x)=10x^4-7x^3+1 = [1]_3*x^4-[1]_3*x^3+1$
poi mediante il piccolo teorema di Fermat $x^3-=x mod3$
$a(x)-= x^4-x^3+1-= x^2-x+1-= x^2+2x+1 -= (x+1)^2 mod 3$
Da cui vediamo che l'unica radice possibile è $2(3)$. Avremo che:
$a(x)= (x+1)(x^3+x^2-x+1)$
da qui vediamo che:
$x^3+x^2-x+1-= x^2+1 mod3 $
ovvero che è un polinomio irriducibile. La scomposizione è dunque terminata.
scusa se ho fatto un po' di confusione, ma il polinomio da scomporre in $\mathbb{Z}_3[x]$ era $a(x)=10x^4-7x^2+1$. stavolta ho fatto le seguenti considerazioni: innanzitutto lo riscrivo come $a(x)=x^4+2x^2+1$ quindi lo scompongo come $a(x)=(x^2+1)^2$. è corretto il procedimento?
il testo del problema richiede poi la scomposizione anche in $\mathbb{Z}_7[x]$: in questo caso riscrivo il polinomio come $a(x)=3x^4+1$, poi pero' non sono in grado di proseguire ulteriormente. è giusto fermarsi qui?
grazie ancora.
il testo del problema richiede poi la scomposizione anche in $\mathbb{Z}_7[x]$: in questo caso riscrivo il polinomio come $a(x)=3x^4+1$, poi pero' non sono in grado di proseguire ulteriormente. è giusto fermarsi qui?
grazie ancora.
Consideriamo allora il polinomio:
$a(x)=3x^4+1$
e riscriviamolo così:
$a(x)=1-4x^4=(1-2x^2)(1+2x^2)$
Da qui osserviamo che i polinomi:
$a_1(x)=1-2x^2=0(7)$
$ x^2-=2^(-1)(7) $
$x^2-=4(7)$
ed anche qui la soluzione è per $x=2(7)$ e $ x=5(7)$ infatti:
$a_1(x)=1-2x^2=(x+5)(3-2x)$
mentre per:
$a_2(x)=1+2x^2$
$ x^2-=5^(-1)(7) $
$x^2-=3(7)$
che non ha soluzione poichè:
$(3/7)=3^((7-1)/2)=27-=-1(7)$
che implica che $3$ non è residuo quadratico di $7$
La scomposizione è dunque:
$ a(x)=3x^4+1=(x+5)(3-2x)(1+2x^2)$
$a(x)=3x^4+1$
e riscriviamolo così:
$a(x)=1-4x^4=(1-2x^2)(1+2x^2)$
Da qui osserviamo che i polinomi:
$a_1(x)=1-2x^2=0(7)$
$ x^2-=2^(-1)(7) $
$x^2-=4(7)$
ed anche qui la soluzione è per $x=2(7)$ e $ x=5(7)$ infatti:
$a_1(x)=1-2x^2=(x+5)(3-2x)$
mentre per:
$a_2(x)=1+2x^2$
$ x^2-=5^(-1)(7) $
$x^2-=3(7)$
che non ha soluzione poichè:
$(3/7)=3^((7-1)/2)=27-=-1(7)$
che implica che $3$ non è residuo quadratico di $7$
La scomposizione è dunque:
$ a(x)=3x^4+1=(x+5)(3-2x)(1+2x^2)$
"fctk":
scusa se ho fatto un po' di confusione, ma il polinomio da scomporre in $\mathbb{Z}_3[x]$ era $a(x)=10x^4-7x^2+1$. stavolta ho fatto le seguenti considerazioni: innanzitutto lo riscrivo come $a(x)=x^4+2x^2+1$ quindi lo scompongo come $a(x)=(x^2+1)^2$. è corretto il procedimento?
E' corretto il prcedimento!
Tieni conto però che poi $x^2+1$ può essere scomponibile, soprattutto se $(-1/p)-=1(p)$.
Nel tuo caso $(-1/3)-=-1(3)$ esclude ulteriori scomposizioni.
ok ora credo di aver capito! grazie tante per il tuo aiuto! 
Di nulla!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo