Scomposizione polinomio e identità di Bèzout

[fabry881]

Qualcuno può aiutarmi con questo esercizio?

SI considerino i polinomi $P(x)=x^4+x^3-x-1 $ e $ Q(x)=x^4-x^3+x-1$

1 Descrivere una decomposizione in fattori irriducibili in $QQ[x], RR[x], CC[x], ZZ_3[x]$

2 Calcolare il $MCD(P(x), Q(x))=d(x) $ in $ QQ[x]$ e esprimerlo mediante l'identità di Bezout.

Soluzione

Riporto solo la scomposizione in $QQ[x]$ necessaria per il secondo punto:
$P(x)=(x+1)(x-1)(x^2+x+1)$
$Q(x)=(x+1)(x-1)(x^2-x+1)$
Da cui si capisce che $d(x)=(x+1)(x-1)$, ma come lo esprimo mediante l'identità di Bezout?

[dan952]

Dobbiamo trovare $p(x),q(x) \in QQ[x]$ tali che
$p(x)(x^2+x+1)+q(x)(x^2-x+1)=1$
Chiamiamo $f(x)=x^2+x+1$ e $g(x)=x^2-x+1$ abbiamo che $\frac{f-g}{2}=x$ allora $1=f-x\frac{f-g}{2}-\frac{f-g}{2}=\frac{1-x}{2}f+\frac{x+1}{2}g$ da cui $p(x)=\frac{1-x}{2}$ e $q(x)=\frac{x+1}{2}$.

[fabry881]

Grazie per la risposta ma non sono riuscito a capire i tuoi passaggi. In che modo hai usato che $(f-g)/2=x$? E potresti spiegarmi il procedimento generale con cui procedere una volta impostata l'identità $p(x)P(x)+q(x)Q(x)=d(x)$?
Grazie mille e perdona l'ignoranza.

[dan952]

[url=https://www.google.it/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://www.batmath.it/matematica/eccell/pdfs/bezout.pdf&ved=0ahUKEwjJ4s_upOrUAhVJbRQKHZDjAqMQFgg2MAM&usg=AFQjCNHwouXJb7PCRq9qdoKGMcWeja1t-g]Qui[/url] trovi l'algoritmo che cerchi. Viene spiegato solo per il caso di numeri interi ma con i polinomi il procedimento è analogo.

[fabry881]

Grazie, quindi seguendo l'algoritmo procedo con le divisioni successive:
$x^2+x+1=(x^2-x+1)+2x$
$x^2-x+1=2x((x-1)/2)+1$
vado a ritroso ricavando i resti
$1=(x^2-x+1)-(2x)((x-1)/2)$
$1=(x^2-x+1)-((x^2+x+1)+(x^2-x+1))((x-1)/2)$
$1=(x^2-x+1)-(x^2+x+1)((x-1)/2)-(x^2-x+1)((x-1)/2)$
$1=(x^2+x+1)((-x+1)/2)+(x^2-x+1)((-x+3)/2)$
che fornisce un'identità di Bezout in cui $p(x)=(-x+1)/2$ e $q(x)=(-x+3)/2$
E' corretto?