Scomposizione in polinomi irriducibili
Salve ragazzi/e, fra poco devo affrontare l'esame di matematica e ho ancora troppi dubbi.. Sapreste spiegarmi:
1) Cosa sono le classi resto di un insieme, magari con qualche esempio
2) Potreste aiutarmi a risolvere questo esercizio:
Per $ K=R $ e $ K=Z_11 $ scomporre $ x^4 -3 $ nel prodotto di polinomi irriducibili.
Per quanto riguarda $ R $ ho trovato $(x -sqrt(3))(x +sqrt(3))(x^2 +sqrt(3))$ ma per $Z_11$ non so come muovermi..
1) Cosa sono le classi resto di un insieme, magari con qualche esempio
2) Potreste aiutarmi a risolvere questo esercizio:
Per $ K=R $ e $ K=Z_11 $ scomporre $ x^4 -3 $ nel prodotto di polinomi irriducibili.
Per quanto riguarda $ R $ ho trovato $(x -sqrt(3))(x +sqrt(3))(x^2 +sqrt(3))$ ma per $Z_11$ non so come muovermi..
Risposte
Beh un buon libro di algebra potrebbe aiutarti per il punto 1), sarebbe piuttosto difficile da scrivere su un forum.
Anche se tempo fa ricordo che io stesso scrissi una cosa (piccolissima) a riguardo per un altro utente che la chiedeva. Prova a fare una ricerca sul forum.
Ovviamente se non impari a conoscere (almeno un minimo) gli $ZZ_n$ il punto 2) diventa difficile da affrontare. Comunque per prima cosa potresti verificare se quel polinomio ammette in $ZZ_(11)$ una radice. Se tale radice non dovesse esserci allora puoi provare a spezzarlo nel prodotto di due polinomi di grado $2$.
Anche se tempo fa ricordo che io stesso scrissi una cosa (piccolissima) a riguardo per un altro utente che la chiedeva. Prova a fare una ricerca sul forum.
Ovviamente se non impari a conoscere (almeno un minimo) gli $ZZ_n$ il punto 2) diventa difficile da affrontare. Comunque per prima cosa potresti verificare se quel polinomio ammette in $ZZ_(11)$ una radice. Se tale radice non dovesse esserci allora puoi provare a spezzarlo nel prodotto di due polinomi di grado $2$.
Innanzitutto grazie per la risposta.
Così a naso direi che siccome i quadrati in $Z_11$ sono $0,1,4,9,5,3$ non ho zeri.. giusto?
Così a naso direi che siccome i quadrati in $Z_11$ sono $0,1,4,9,5,3$ non ho zeri.. giusto?
Beh $4^4=256-3=253$ che è $0$ in $ZZ_(11)$ quindi direi proprio che $4$ è radice, da cui $x-4$ divide il polinomio.
Otterrai allora un fatto di ordine $3$. Se quest'ultimo non ha radici esso sarà sicuramente irriducibile.
Otterrai allora un fatto di ordine $3$. Se quest'ultimo non ha radici esso sarà sicuramente irriducibile.
Lascio aperta questa discussione, vado a studiarmi bene questi argomenti e appena li so li ridiscutiamo! Grazie intanto per le risposte!
Chiedo:
per il polinomio $p(x) = x^4 -10$ da risolvere sul campo $Z_11$, l'ho riscritto nella forma adatta al campo ossia $x^4 +1$, poi ho cercato tutte le possibili radici sostituendo da 0 a 10 ma nessuna soddisfa la condizione $f(a)=0$. Posso quindi concludere che il polinomio è irriducibile su quel campo?
per il polinomio $p(x) = x^4 -10$ da risolvere sul campo $Z_11$, l'ho riscritto nella forma adatta al campo ossia $x^4 +1$, poi ho cercato tutte le possibili radici sostituendo da 0 a 10 ma nessuna soddisfa la condizione $f(a)=0$. Posso quindi concludere che il polinomio è irriducibile su quel campo?
"apollo23":
Chiedo:
per il polinomio $p(x) = x^4 -10$ da risolvere sul campo $Z_11$, l'ho riscritto nella forma adatta al campo ossia $x^4 +1$, poi ho cercato tutte le possibili radici sostituendo da 0 a 10 ma nessuna soddisfa la condizione $f(a)=0$. Posso quindi concludere che il polinomio è irriducibile su quel campo?
No, puoi solo concludere che non ha radici (ciò è sufficiente a garantire l'irriducibilità solo se il polinomio ha grado al più 3: ti lascio da pensare su perchè ciò è vero).
Nel tuo caso, devi vedere se il tuo polinomio si scompone come prodotto di due polinomi di secondo grado.
è vero!
Allora proverei a risolvere l'equazione $(x^2 +ax+b)(x^2 +cx+d)=x^4 +1$ ottenendo così un sistema che mi permette di trovare $a,b,c,d$.. trovo $\{(c+a=0),(d+ac+b=0),(ad+bc=0),(bd=1):}$
Ora, non so come risolvere questo sistema, nel senso che non so proprio come muovermi.
Allora proverei a risolvere l'equazione $(x^2 +ax+b)(x^2 +cx+d)=x^4 +1$ ottenendo così un sistema che mi permette di trovare $a,b,c,d$.. trovo $\{(c+a=0),(d+ac+b=0),(ad+bc=0),(bd=1):}$
Ora, non so come risolvere questo sistema, nel senso che non so proprio come muovermi.
ho riprovato plurime volte ma non riesco a svolgere $bd=1$ ... aiuto per favore =(
Da $bd=1$ ricavi che $b=d^-1$, cioè sono l'uno l'inverso dell'altro.
Prova a sostituire questa relazione all'interno delle altre equazioni e vedi un po' che cosa riesci a fare (ti chiedo scusa ma in questo momento non ho davvero il tempo per fare tutti i conti).
Comunque, tieni conto che "vivi" in $ZZ_11$, lavori in un campo finito, dunque - caso estremo - puoi provare a sostituire brutalmente nelle equazioni un po' di valori e vedere che capita...
Prova a sostituire questa relazione all'interno delle altre equazioni e vedi un po' che cosa riesci a fare (ti chiedo scusa ma in questo momento non ho davvero il tempo per fare tutti i conti).
Comunque, tieni conto che "vivi" in $ZZ_11$, lavori in un campo finito, dunque - caso estremo - puoi provare a sostituire brutalmente nelle equazioni un po' di valori e vedere che capita...
grazie mille! ora provo =)
ho pensato: siccome $x^4 +1$ in $Z_11$ non ha radici e risolvendo la condizione $bd=1$ trovo solo valori non accettabili del tipo $b=1, d=1$ oppure $b=6, d=2$ etc.. Posso affermare che il polinomio è irriducibile su quel campo.. giusto?
"apollo23":
risolvendo la condizione $bd=1$ trovo solo valori non accettabili del tipo $b=1, d=1$ oppure $b=6, d=2$ etc..
Guarda che $ZZ_11$ è un campo quindi tutti gli elementi hanno inverso, non solo $1,6,2$...
Hai fatto tutti i conti? Sei riuscito a concludere qualcosa?
P.S:ho visto che hai aperto un altro topic sullo stesso problema (e hai anche fatto un up prima di 24 ore). Ti prego di fare in modo che ciò non accada più, altrimenti sarò costretto a un richiamo ufficiale. Tra parentesi, l'hai letto il regolamento?
Sisi ho letto il regolamento =( sono agitato per l'esame e nessuno rispondeva.. scusatemi.
Cmq ragionandoci a fondo e con i tuoi consigli ho capito che, con le giuste sostituzioni ottengo $(x^2 +3x -1)(x^2 -3x -1) = x^4 +1$ in $Z_11$ che è il prodotto di polinomi irriducibili che cercavo =)
Cmq ragionandoci a fondo e con i tuoi consigli ho capito che, con le giuste sostituzioni ottengo $(x^2 +3x -1)(x^2 -3x -1) = x^4 +1$ in $Z_11$ che è il prodotto di polinomi irriducibili che cercavo =)
Ottimo lavoro.
Scusami se non ho potuto scriverti per bene i conti, ma dovevo finire di preparare un esame e non avevo troppo tempo da dedicarti.
Bravo che hai concluso da solo
Scusami se non ho potuto scriverti per bene i conti, ma dovevo finire di preparare un esame e non avevo troppo tempo da dedicarti.
Bravo che hai concluso da solo
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