Scomposizione in ideali primi
Ciao a tutti.
Nell'anello $Z[i\sqrt{3}] ={a+ib\sqrt{3}, a,b\in Z}$ il numero $4$ ha due scomposizione in fattori primi:
\[
4=2^2=(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})
\]
Tuttavia la scomposizione di $(4)$ in ideali primi è unica. Qual è questa scomposizione? Va benissimo anche un semplice link (con dimostrazione, se possibile!).
Grazie anticipate.
Nell'anello $Z[i\sqrt{3}] ={a+ib\sqrt{3}, a,b\in Z}$ il numero $4$ ha due scomposizione in fattori primi:
\[
4=2^2=(1+i\sqrt{3})(1-i\sqrt{3})
\]
Tuttavia la scomposizione di $(4)$ in ideali primi è unica. Qual è questa scomposizione? Va benissimo anche un semplice link (con dimostrazione, se possibile!).
Grazie anticipate.
Risposte
Ciao, scusa non capisco, dalla formula che hai scritto segue che $2$, $1+i sqrt(3)$ e $1-i sqrt(3)$ non sono elementi primi. Sono invece irriducibili. Oltretutto $ZZ[i sqrt(3)]$ non è un dominio di Dedekind (non è UFD). Puoi fornire un contesto?
"Martino":
Ciao, scusa non capisco, dalla formula che hai scritto segue che $2$, $1+i sqrt(3)$ e $1-i sqrt(3)$ non sono elementi primi. Sono invece irriducibili. Oltretutto $ZZ[i sqrt(3)]$ non è un dominio di Dedekind (non è UFD). Puoi fornire un contesto?
Sul fatto che $ZZ[i sqrt(3)]$ non sia a fattorizzazione unica non ci sono dubbi. Ma per me è un dominio di Dedekind.
http://www.dm.uniba.it/~barile/Rete2/al ... ione22.pdf
Qui si fa vedere benissimo che in $ZZ[i sqrt(5)]$ il numero 6 non ha un'unica scomposizione, ma (6) ce l'ha. Io vorrei la stessa cosa con 4 in $ZZ[i sqrt(3)]$.
Scusa hai ragione UFD non c'entra ma $Z[sqrt(-3)]$ non è di Dedekind perché non è integrally closed, infatti preso $a=(1+sqrt(-3))/2$ hai che $(2a-1)^2=-3$ da cui $4a^2-4a+4=0$ e dividendo per $4$ abbiamo $a^2-a+1=0$, in altre parole $a$ è un intero algebrico che non appartiene a $Z[sqrt(-3)]$, d'altra parte appartiene al campo delle frazioni di $Z[sqrt(-3)]$. Quindi $Z[sqrt(-3)]$ non è un dominio di Dedekind, concordi?
"Martino":
Scusa hai ragione UFD non c'entra ma $Z[sqrt(-3)]$ non è di Dedekind perché non è integrally closed, infatti preso $a=(1+sqrt(-3))/2$ hai che $(2a-1)^2=-3$ da cui $4a^2-4a+4=0$ e dividendo per $4$ abbiamo $a^2-a+1=0$, in altre parole $a$ è un intero algebrico che non appartiene a $Z[sqrt(-3)]$, d'altra parte appartiene al campo delle frazioni di $Z[sqrt(-3)]$. Quindi $Z[sqrt(-3)]$ non è un dominio di Dedekind, concordi?
Quindi ricapitolando $Z[isqrt(5)]$ è un dominio di Dedekind, ma $Z[isqrt(3)]$ non lo è. Giusto?
Tu chiedo un po' link (il più semplici e ricchi di esempi possibili) su questi argomenti:
1. domini di Dedekind,
2. "integrally closed",
3. domini che non sono a fattorizzazione unica, ma in cui la fattorizzazione in ideali è unica.
Grazie 1000!
P.S. Poi avrei un'altra domanda "a più ampio respiro": quali sono gli anelli non a fattorizzazione unica, in cui però la fattorizzazione in ideali primi è unica?
Da quanto capisco, infatti, storicamente gli ideali sono nati così: per avere la fattorizzazione unica in struttura che di suo non l'avrebbe (analogamente a quanto è accaduto per i numeri irrazionali e per gli immaginari, nati rispettivamente per "estendere" le proprietà dei razionali e dei reali). Nonostante sia laureato in matematica, questa cosa nei corsi di algebra che ho frequentato non mi era stata spiegata.
Da quanto capisco, infatti, storicamente gli ideali sono nati così: per avere la fattorizzazione unica in struttura che di suo non l'avrebbe (analogamente a quanto è accaduto per i numeri irrazionali e per gli immaginari, nati rispettivamente per "estendere" le proprietà dei razionali e dei reali). Nonostante sia laureato in matematica, questa cosa nei corsi di algebra che ho frequentato non mi era stata spiegata.
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