Scomposizione in fattori di un polinomio
Devo scomporre in fattori primi in $Q[x]$ tale polinomio:
$x^(2^3) - 1$
Innanzitutto calcolo la potenza e lo faccio diventare:
$x^8-1$
Ad occhio vedo che una radice è $1$ dunque lo riscrivo come:
$(x-1)(x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$
Ora cerco di scomporre il secondo fattore, notando che $-1$ è radice:
$(x-1)(x+1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$
Ora, siccome il mio professore di Matematica Discreta ci ha detto: "Il corso non vi fornisce dei metodi per calcolare le radici di un polinomio" solitamente ci ha detto di provare un po' di valori, come $1,-1,2,-2$ e di non spingerci molto oltre. In questo caso ho appunto provato con $1,-1,2,-2$ e $-3$ e nessun valore è radice del polinomio, dunque se mi trovassi tale polinomio al compito d'esame (quest'esercizio l'ho preso da un appello passato) azzarderei dicendo che questa è la scomposizione in fattori primi finale, in quanto il 3° fattore a questo punto mi sembra irriducibile ma in teoria non è che ho proprio dimostrato che è irriducibile, diciamo che ho provato con alcuni valori e mi sembra irriducibile visto il risultato!
Ho provato a cercare se esiste un numero primo $p$ tale che:
- $p$ non divide $a_n$
- $p$ divide $a_(n-1), ..., a_1, a_0$
- $p^2$ non divide $a_0$
E poi sfruttando il fatto che un polinomio è irriducibile in $Q[x]$ se e solo se è irriducibile in $Z[x]$, ma questo numero $p$ sembra non esistere.
A questo punto non saprei come giustificare la mia risposta! Qualcuno sa aiutarmi?
$x^(2^3) - 1$
Innanzitutto calcolo la potenza e lo faccio diventare:
$x^8-1$
Ad occhio vedo che una radice è $1$ dunque lo riscrivo come:
$(x-1)(x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$
Ora cerco di scomporre il secondo fattore, notando che $-1$ è radice:
$(x-1)(x+1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$
Ora, siccome il mio professore di Matematica Discreta ci ha detto: "Il corso non vi fornisce dei metodi per calcolare le radici di un polinomio" solitamente ci ha detto di provare un po' di valori, come $1,-1,2,-2$ e di non spingerci molto oltre. In questo caso ho appunto provato con $1,-1,2,-2$ e $-3$ e nessun valore è radice del polinomio, dunque se mi trovassi tale polinomio al compito d'esame (quest'esercizio l'ho preso da un appello passato) azzarderei dicendo che questa è la scomposizione in fattori primi finale, in quanto il 3° fattore a questo punto mi sembra irriducibile ma in teoria non è che ho proprio dimostrato che è irriducibile, diciamo che ho provato con alcuni valori e mi sembra irriducibile visto il risultato!
Ho provato a cercare se esiste un numero primo $p$ tale che:
- $p$ non divide $a_n$
- $p$ divide $a_(n-1), ..., a_1, a_0$
- $p^2$ non divide $a_0$
E poi sfruttando il fatto che un polinomio è irriducibile in $Q[x]$ se e solo se è irriducibile in $Z[x]$, ma questo numero $p$ sembra non esistere.
A questo punto non saprei come giustificare la mia risposta! Qualcuno sa aiutarmi?
Risposte
"vict85":
Ti suggerisco di ripassarti il metodo di ruffini e di dare un'occhiata ai polinomi ciclotomici
Si ma con il metodo di Ruffini comunque dovrei provare a dividere il polinomio per uno della forma $x-a$ a caso, dunque devo provare a dividere $x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ per polinomi "a caso", no?
Il problema di quel polinomio è che non possiede radici reali. È il prodotto di 3 polinomi di secondo grado a radici complesse coniugate. Io lo terrei così. Quello è il 6 polinomio ciclotomico.
"vict85":
Il problema di quel polinomio è che non possiede radici reali. È il prodotto di 3 polinomi di secondo grado a radici complesse coniugate. Io lo terrei così. Quello è il 6 polinomio ciclotomico.
Si infatti il mio problema era proprio questo, se non ha radici reali vuol dire che in $Q[x]$ non posso andare oltre nella scomposizione.
E' vero che $f(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ e' irriducibile in $QQ[X]$.
Questo segue per esempio dal fatto che $f(y+1)$ e' di Eisenstein rispetto al primo $7$
oppure dal fatto che $f(x)$ e' irriducibile modulo $3$. Oppure dal fatto che $f(x)$ e'
il $7^o$ polinomio ciclotomico. Perche' i polinomi ciclotomici sono irriducibili in $QQ[X]$.
Ma c'entra poco con la fattorizzazione di $x^8-1$, perche'
il polinomio $x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ non e' uguale
al prodotto $(x+1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$ $\ldots$
Questo segue per esempio dal fatto che $f(y+1)$ e' di Eisenstein rispetto al primo $7$
oppure dal fatto che $f(x)$ e' irriducibile modulo $3$. Oppure dal fatto che $f(x)$ e'
il $7^o$ polinomio ciclotomico. Perche' i polinomi ciclotomici sono irriducibili in $QQ[X]$.
Ma c'entra poco con la fattorizzazione di $x^8-1$, perche'
il polinomio $x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ non e' uguale
al prodotto $(x+1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$ $\ldots$
"Stickelberger":
E' vero che $f(x)=x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ e' irriducibile in $QQ[X]$.
Questo segue per esempio dal fatto che $f(y+1)$ e' di Eisenstein rispetto al primo $7$
oppure dal fatto che $f(x)$ e' irriducibile modulo $3$. Oppure dal fatto che $f(x)$ e'
il $7^o$ polinomio ciclotomico. Perche' i polinomi ciclotomici sono irriducibili in $QQ[X]$.
Ma c'entra poco con la fattorizzazione di $x^8-1$, perche'
il polinomio $x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1$ non e' uguale
al prodotto $(x+1)(x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)$ $\ldots$
Che sbadato, non ho neanche controllato.
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