Scomposizione di $x^p - 1$ in $\Z_p$

[Rodolfo Medina]

Salve a tutti. Non so come scomporre in fattori irriducibili il polinomio $x^p - 1$ a coefficienti in $\Z_p$ con $p$ primo. Qualcuno poò aiutarmi? Se fosse $x^p - x$ saprei farlo, e così pure se fosse $x^{p - 1} - 1$, ma con $x^p - 1$ non ci riesco. Grazie mille

Rodolfo

[Thomas16]

Se la risposta che ti dico è corretta, allora mi posti le dimostrazioni dei tuoi risultati:

$x^p-1=(x-1)^p$ ?

(naturalmente per $p>2$)

[Gi81]

anche per $p=2$: $x^2-1=(x-1)(x+1)=(x-1)^2$ in $ZZ_2$

[Thomas16]

yes giusto grazie! mi ero dimenticato che $1=-1$ su $Z_2$

[Rodolfo Medina]

Azzardo una dimostrazione: poiché $p$ è primo, coincide con la caratteristica dell'anello $\Z_p$ ergo il prodotto di $p$ per ogni elemento di $\Z_p$ è uguale a zero. Da ciò e dalla formula del binomio di Newton consegue il risultato. Giusto?

[Thomas16]

segnalo:

http://en.wikipedia.org/wiki/Freshman%27s_dream

[Rodolfo Medina]

Ma certo, l'endomorfismo di Frobenius! Tutto il ragionamento richiede però che $\Z_p[x]$ abbia caratteristica $p$, cioè la stessa caratteristica di $\Z_p$. È questo un risultato generale?, ossia possiamo affermare che la caratteristica di un anello commutativo unitario $A$ non nullo coincide con la caratteristica di $A[x]$? A me risulta di sì, anche se non lo vedo scritto da nessuna parte. Apro un nuovo thread apposta per questo...

[Thomas16]

Potrebbe essere vero in effetti, ma non ho le competenze per formalizzarlo al momento quindi lascio fare a qualcuno di più esperto... solo che non capisco cosa c'entra con la discussione...
Per dimostrare che $(x^p-1)=(x-1)^p$ in $Z_p[x]$ mi pare basti sapere che $kp=0 mod Z_p$, per ogni $k$ intero, il che mi pare abbastanza banale... il mio voleva essere solo un link di approfondimento...