Scomposizione di un polinomio
Ciao ragazzi, ho trovato un esercizio sulla scomposizione dei polinomi ma non mi è molto chiaro...
dato il polinomio $x^4 - 1$ mi chiede di scomporlo, se possibile, in $QQ[x], RR[x], CC[x], ZZ_5[x], ZZ_2[x]$
io ho iniziato a svolgerlo così
$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$
ecco, ora non so come continuare. chi mi aiuta?
dato il polinomio $x^4 - 1$ mi chiede di scomporlo, se possibile, in $QQ[x], RR[x], CC[x], ZZ_5[x], ZZ_2[x]$
io ho iniziato a svolgerlo così
$x^4 - 1 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x^2 + 1)(x + 1)(x - 1)$
ecco, ora non so come continuare. chi mi aiuta?
Risposte
Ciao.
Be', quella è la scomposizione del polinomio in $QQ[x]$ e in $RR[x]$: osserva infatti che in tali anelli il polinomio non si può più decomporre.
Che mi dici però di $CC[x]$? E di $ZZ_5[x]$?
Be', quella è la scomposizione del polinomio in $QQ[x]$ e in $RR[x]$: osserva infatti che in tali anelli il polinomio non si può più decomporre.
Che mi dici però di $CC[x]$? E di $ZZ_5[x]$?
in $CC[x]$ è sicuramente scomponibile visto che gli unici non scomponibili sono quelli di grado 1 ma non so come fare....tantomeno in $ZZ_2$ e $ZZ_5$
Il problema è come puoi scomporre $x^2+1$ in $CC[x]$: infatti gli altri fattori sono già di primo grado, quindi l'unico che resta da scomporre è proprio $x^2+1$.
Sono sicurissimo che hai già visto (ben più di una volta) la scomposizione nei complessi di $x^2+1$: sai dirmi per cominciare quali sono le sue radici?
Sono sicurissimo che hai già visto (ben più di una volta) la scomposizione nei complessi di $x^2+1$: sai dirmi per cominciare quali sono le sue radici?
beh, non ho mai trovato esercizi sui numeri complessi nei miei appunti ma dalla teoria credo che $x^2 = -1$ quindi $x= \pm sqrt(-1) = \pm i$
corretto?
corretto?
Sì, esatto.
Probabilmente ricordi (se non ricordi non importa, te lo scrivo io
) che un polinomio di secondo grado $ax^2+bx+c$ si scompone come $a(x-x_1)(x-x_2)$ dove $x_1$ e $x_2$ sono le sue radici.
A questo punto penso che il gioco sia fatto...
Hai capito? Se hai capito questo passiamo a $ZZ_5[x]$...
Probabilmente ricordi (se non ricordi non importa, te lo scrivo io
) che un polinomio di secondo grado $ax^2+bx+c$ si scompone come $a(x-x_1)(x-x_2)$ dove $x_1$ e $x_2$ sono le sue radici. A questo punto penso che il gioco sia fatto...
Hai capito? Se hai capito questo passiamo a $ZZ_5[x]$...
sei stato chiarissimo e il tuo sistema di aiutarmi a passi lo trovo chiarissimo e molto utile...passiamo al prossimo
Benissimo, mi fa piacere. Con i complessi ci sei allora?
Andiamo oltre. Per scomporre negli anelli $ZZ_n[x]$ l'idea è la seguente: si cercano a mano le radici del polinomio e poi si divide con Ruffini ricordandosi però dell'anello $ZZ_n$ in cui "vivono" i coefficienti del nostro polinomio.
Voglio dire: se, ad esempio, nella divisione con Ruffini per scomporre in $ZZ_5[x]$ ti trovi a dover fare $3+4$ questo non fa 7 ma fa 2 (insomma devi ridurre tutto modulo 5): chiaro?
Ad esempio, per scomporre $x^2+1$ (gli altri fattori vanno bene, solo devi aggiustare quello con il -1 e "trasformarlo" nel suo rappresentante canonico modulo 5) puoi notare che $2^2+1=5=0$ in $ZZ_[5]$, quindi il polinomio $x^2+1$ è divisibile per $x-2=x+3$ (sempre in $ZZ_5[x]$).
Mi segui? Prova a buttar giù due conti che partiamo da lì.
Andiamo oltre. Per scomporre negli anelli $ZZ_n[x]$ l'idea è la seguente: si cercano a mano le radici del polinomio e poi si divide con Ruffini ricordandosi però dell'anello $ZZ_n$ in cui "vivono" i coefficienti del nostro polinomio.
Voglio dire: se, ad esempio, nella divisione con Ruffini per scomporre in $ZZ_5[x]$ ti trovi a dover fare $3+4$ questo non fa 7 ma fa 2 (insomma devi ridurre tutto modulo 5): chiaro?
Ad esempio, per scomporre $x^2+1$ (gli altri fattori vanno bene, solo devi aggiustare quello con il -1 e "trasformarlo" nel suo rappresentante canonico modulo 5) puoi notare che $2^2+1=5=0$ in $ZZ_[5]$, quindi il polinomio $x^2+1$ è divisibile per $x-2=x+3$ (sempre in $ZZ_5[x]$).
Mi segui? Prova a buttar giù due conti che partiamo da lì.
Ok, dopo pranzo leggo con massima attenzione cosa mi hai scritto e provvedo con i calcoli e il metodo di risoluzione. a dopo e grazie 1000
Ok, ti rispondo solo ora perchè ho dovuto fare alcune commissioni urgenti...detto ciò, non mi è chiaro cosa intendi con "devi aggiustare quello con il -1 e "trasformarlo" nel suo rappresentante canonico modulo 5"
io ho provato a fare così ma non so se sia corretto...
allora, trovarmi le soluzioni in $ZZ_5$ significa trovare $x^2 + 1 = 0$ ma, poichè in $ZZ_5$ 0 equivale a 5 posso fare $x^2 + 1 = 5$ quindi le due soluzioni sarebbero 2 e -2 e quindi l'intera scomposizione sarebbe: $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$. Corretto?
Per $ZZ_2$ ottengo che 0 = 2 quindi basta porre $x^2 + 1 = 2$ con le soluzioni 1 e -1, quindi la scomposizione sarebbe $(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)$. Corretto?
io ho provato a fare così ma non so se sia corretto...
allora, trovarmi le soluzioni in $ZZ_5$ significa trovare $x^2 + 1 = 0$ ma, poichè in $ZZ_5$ 0 equivale a 5 posso fare $x^2 + 1 = 5$ quindi le due soluzioni sarebbero 2 e -2 e quindi l'intera scomposizione sarebbe: $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$. Corretto?
Per $ZZ_2$ ottengo che 0 = 2 quindi basta porre $x^2 + 1 = 2$ con le soluzioni 1 e -1, quindi la scomposizione sarebbe $(x-1)(x+1)(x-1)(x+1)$. Corretto?
"Max861126":
allora, trovarmi le soluzioni in $ZZ_5$ significa trovare $x^2 + 1 = 0$ ma, poichè in $ZZ_5$ 0 equivale a 5 posso fare $x^2 + 1 = 5$ quindi le due soluzioni sarebbero 2 e -2 e quindi l'intera scomposizione sarebbe: $(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)$. Corretto?
Sì, quasi... il punto è proprio quello che cercavo di dirti sopra: -1 non c'è in $ZZ_5$.. o meglio $-1 = 4$ in $ZZ_5$ quindi la scomposizione è $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)$. La cosa incredibile è che se fai i conti (modulo 5) tutto magicamente torna
Comunque, a parte questo piccolo problemino estetico, va bene anche la scomposizione in $ZZ_2[x]$.
Tutto chiaro? Ad maiora.
oooooook, sei stato chiarissimo...ho capito....giustamente essendo $ZZ_5$ da 0 a 4 devo convertire i segni negativi nei rispettivi equivalenti positivi.
Grazie 1000 per avermi aiutato a risolvere l'intero esercizio....ho capito anche perchè non mi ritrovavo con i risultati sugli esercizi di ruffini che a me venivano negativi mentre nel libro tutti positivi...mi dimenticavo di trovare l'equivalente del negativo nell'anello!
Grazie 1000 per avermi aiutato a risolvere l'intero esercizio....ho capito anche perchè non mi ritrovavo con i risultati sugli esercizi di ruffini che a me venivano negativi mentre nel libro tutti positivi...mi dimenticavo di trovare l'equivalente del negativo nell'anello!
Prego, figurati. E' stato un piacere.
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