Scomposizione di un polinomio
come si fa a scomporre in fattori irriducibili il polinomio $a(x)=x^4-5x^2-14$ negli anelli di polinomi $\mathbb{R}[x]$ e $\mathbb{Q}[x]$? ho provato ad applicare ruffini ma la valutazione del polinomio non viene mai zero (il che esclude radici razionali, ma non quelle irrazionali...). grazie.
Risposte
$(x^2 -7)(x^2 +2)$
basta porre $x^2= t$ e poi risolvi come una normale equaione di secondo grado
basta porre $x^2= t$ e poi risolvi come una normale equaione di secondo grado
"fctk":
come si fa a scomporre in fattori irriducibili il polinomio $a(x)=x^4-5x^2-14$ negli anelli di polinomi $\mathbb{R}[x]$ e $\mathbb{Q}[x]$? ho provato ad applicare ruffini ma la valutazione del polinomio non viene mai zero (il che esclude radici razionali, ma non quelle irrazionali...). grazie.
E in ogni caso il fatto di non aver radici razionali non implica che il polinomio è irriducibile in $Q[x]$: potrebbe infatti essere scomponibile nel prodotto di due polinomi irriducibili in $Q[x]$ di secondo grado.
Il polinomio scritto da miuemia è prodotto di fattori irriducibili in $Q[x]$ (essendo i fattori di secondo grado, basta vedere che le loro radici non sono razionali). In $R[x]$ invece non è ancora finita...
il primo fattore è ancora scomponibile in $RR$... ma in maniera semplice! ciao.
Infatti è una bella equazione biquadratica 
Dato un polinomio $p in K[x], degp=3$
Si ha: $p " irriducibile "<=> p$ non ha radici in $K$
nel tuo caso non è applicabile, poichè hai un polinomio di 4° grado. Mostrando che non ha radici hai provato che non può avere divisori irriducibili di 1° grado(th.Ruffini) (e quindi neanche di terzo, poichè dividendo un polinomio di grado 4 per un polinomio di grado 3 hai un polinomio di grado 1; non puoi averne di grado 1, quindi non puoi averne di grado 3 - se ne avessi di grado 3 divideresti e otterresti un polinomio di grado 1, assurdo).
Allora il tuo polinomio 1) è prodotto di due irriducibili di secondo grado 2) è irriducibile.
Si vede che vale la 1. Se non fosse valsa allora varrebbe la 2).
Inoltre ti ricordo che: con $p in RR[x]$
$p " irriducibile " <=> degp=1 " oppure " (degp=2 " e " Delta<0)$
Inoltre un polinomio di grado 3 ha sempre una radice reale.
Si ha: $p " irriducibile "<=> p$ non ha radici in $K$
nel tuo caso non è applicabile, poichè hai un polinomio di 4° grado. Mostrando che non ha radici hai provato che non può avere divisori irriducibili di 1° grado(th.Ruffini) (e quindi neanche di terzo, poichè dividendo un polinomio di grado 4 per un polinomio di grado 3 hai un polinomio di grado 1; non puoi averne di grado 1, quindi non puoi averne di grado 3 - se ne avessi di grado 3 divideresti e otterresti un polinomio di grado 1, assurdo).
Allora il tuo polinomio 1) è prodotto di due irriducibili di secondo grado 2) è irriducibile.
Si vede che vale la 1. Se non fosse valsa allora varrebbe la 2).
Inoltre ti ricordo che: con $p in RR[x]$
$p " irriducibile " <=> degp=1 " oppure " (degp=2 " e " Delta<0)$
Inoltre un polinomio di grado 3 ha sempre una radice reale.
"miuemia":
$(x^2 -7)(x^2 +2)$
basta porre $x^2= t$ e poi risolvi come una normale equaione di secondo grado
che scemo che sono mi è proprio sfuggito di mente! grazie.
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