Scomposizione di un polinomio.
Ho il polinomio: $x^4+1$.
Devo scomporlo in '' $RR$ '' in due polinomi di secondo grado, senza ausili provenienti da '' $CC$ ''.
L'ho scomposto con la divisione tra polinomi: a destra ho messo '' $x^4+0+0+0+1$ '' e ha sinistra ho posto: '' $ax^2+bx+c$ '' con '' $a,b,cinRR$ ''.
Si ottiene il polinomio '' $1/ax^2-b/a^2x+(b^2/a^3-c/a^2)$ '' e un certo resto ( che non riporto perche' lungo e inoltre non e' questo che mi interessa ), ma se il polinomio dev'essere riducibile allora il resto dev'essere nullo. Questo si avvera se ( ponendo il resto nullo ):
$a^3-b^3+ac^2-b^2c+2abc=0$.
Scusate la seguente domanda, ma indipendentemente dall'esercizio si puo' dire a priori che in '' $RR$ '' esiste una terna di valori ( ricordiamo che non si sa nulla di '' $a,b,c$ '', tranne dell'appartenenza a '' $RR$ '' ) che soddisfa l'ultima equazione? Penso di si', poiche' non c'e' nulla da dimostrare.
Ho ricavato altre due equazioni:
poiche' c'e' una sola coppia di termini che rende '' $x^4$ '' e lo stesso vale per il termine noto '' $1$ '' ( termini che si devono conservare in modo che il prodotto sia '' $1$ '' ) si ricava:
$a=1/a$. Da cui prendo '' $a=1$ ''.
$c=(b^2/a^3-c/a^2)$. Da cui '' $c=b^2/2$ ''.
Dalle tre equazioni abbiamo: $b=pmsqrt2$.
Da cui la scomposizione: $x^4+1=(x^2+sqrt2x+1)(x^2-sqrt2x+1)$.
Che effettivamente restituisce quanto ricercato.
Per sicurezza vorrei sapere se va bene il metodo con il quale ho svolto.
Devo scomporlo in '' $RR$ '' in due polinomi di secondo grado, senza ausili provenienti da '' $CC$ ''.
L'ho scomposto con la divisione tra polinomi: a destra ho messo '' $x^4+0+0+0+1$ '' e ha sinistra ho posto: '' $ax^2+bx+c$ '' con '' $a,b,cinRR$ ''.
Si ottiene il polinomio '' $1/ax^2-b/a^2x+(b^2/a^3-c/a^2)$ '' e un certo resto ( che non riporto perche' lungo e inoltre non e' questo che mi interessa ), ma se il polinomio dev'essere riducibile allora il resto dev'essere nullo. Questo si avvera se ( ponendo il resto nullo ):
$a^3-b^3+ac^2-b^2c+2abc=0$.
Scusate la seguente domanda, ma indipendentemente dall'esercizio si puo' dire a priori che in '' $RR$ '' esiste una terna di valori ( ricordiamo che non si sa nulla di '' $a,b,c$ '', tranne dell'appartenenza a '' $RR$ '' ) che soddisfa l'ultima equazione? Penso di si', poiche' non c'e' nulla da dimostrare.
Ho ricavato altre due equazioni:
poiche' c'e' una sola coppia di termini che rende '' $x^4$ '' e lo stesso vale per il termine noto '' $1$ '' ( termini che si devono conservare in modo che il prodotto sia '' $1$ '' ) si ricava:
$a=1/a$. Da cui prendo '' $a=1$ ''.
$c=(b^2/a^3-c/a^2)$. Da cui '' $c=b^2/2$ ''.
Dalle tre equazioni abbiamo: $b=pmsqrt2$.
Da cui la scomposizione: $x^4+1=(x^2+sqrt2x+1)(x^2-sqrt2x+1)$.
Che effettivamente restituisce quanto ricercato.
Per sicurezza vorrei sapere se va bene il metodo con il quale ho svolto.
Risposte
Mi sarei risparmiato un bel po' di cose, ti ringrazio. 
Invece sulla prima domanda, indipendentemente da questo esercizio, se ho un'equazione come questa:
$a^3-b^3+ac^2-b^2c+2abc=0$.
Si puo' affermare a priori che esiste una terna ( '' $a,b,c$ '' ) in '' $RR$ '' che soddisfa l'equazione ( insomma, affermarlo senza dimostrarlo )? Non interessa quali siano tali valori, ma interessa soltanto l'esistenza. Dal momento che nulla e' stato detto sulla terna penso che si possa affermare quanto esposto.
$((a),(b),(c))=((0),(0),(0))$
Se invece la vuoi non nulla, è un po' diverso
P.S.
A questa bloccando $c=0$, avremo tutto questo sottospazio di soluzioni $<((1),(1),(0))>$
Bloccando $a=b=0$, avremo tutto questo sottospazio invece $<((0),(0),(1))>$
Se invece la vuoi non nulla, è un po' diverso
P.S.
A questa bloccando $c=0$, avremo tutto questo sottospazio di soluzioni $<((1),(1),(0))>$
Bloccando $a=b=0$, avremo tutto questo sottospazio invece $<((0),(0),(1))>$
Quindi in ogni caso bisogna verificare lasciando soltanto un'incognita, e vedere se e' possibile almeno un risultato.
Ti ringrazio.
Ti ringrazio.
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