Scomporre polinomi nel prodotto di fatt. irriducibili
Si scompongano i seguenti polinomi appartenenti a $R[x]$ nel prodotto di fattori irriducibili:
$f_1(x) = x^3+2x^2-1$
$f_2(x) = x^4-2x^3+x-2$
Partendo dai seguenti polinomi, io ho studiando che:
Siano F un campo e f un polinomio non nullo di F[x], Allora:
i) Se il grado di f è uguale a 1, f è irriducibile.
ii) Se il grado di f è uguale a n con n > 1 e f è irriducibile, f non possiede rardici in f.
iii) Se il grado di f è uguale a 2 oppure il grado di f è uguale a 3, f è irriducibile se e solo se, f non possiede radici.
Da ciò come posso scomppore i polinomi che ho scritto in prodotto di fattori irriducibili?
Grazie anticiptamente.
$f_1(x) = x^3+2x^2-1$
$f_2(x) = x^4-2x^3+x-2$
Partendo dai seguenti polinomi, io ho studiando che:
Siano F un campo e f un polinomio non nullo di F[x], Allora:
i) Se il grado di f è uguale a 1, f è irriducibile.
ii) Se il grado di f è uguale a n con n > 1 e f è irriducibile, f non possiede rardici in f.
iii) Se il grado di f è uguale a 2 oppure il grado di f è uguale a 3, f è irriducibile se e solo se, f non possiede radici.
Da ciò come posso scomppore i polinomi che ho scritto in prodotto di fattori irriducibili?
Grazie anticiptamente.
Risposte
In entrambi i casi puoi usare il metodo di Ruffini
Forse non è chiaro da come ho scritto, ma $f_1$ e $f_2$ sono due polinomi distinti, cioè devo scomporre $f_1$ come prodotto di fattori irriducibili e la stessa cosa per $f_2$.
Hai scritto in modo chiarissimo
Ti faccio un pezzo del primo
$f_1(x)=x^3+2x^2-1$
Notiamo che $f_1(-1)= -1+2-1=0$, pertando $f_1(x)$ è divisibile per $(x+1)$...
Ti faccio un pezzo del primo
$f_1(x)=x^3+2x^2-1$
Notiamo che $f_1(-1)= -1+2-1=0$, pertando $f_1(x)$ è divisibile per $(x+1)$...
Ho applicato ruffini, ottenendo:
Quoziente = $x^2+x$ e Resto= $-x-1$
in definitiva $f_1(x)=(x^2+x)(x+1)-x-1$
Adesso come continuo l'esercizio?
Quoziente = $x^2+x$ e Resto= $-x-1$
in definitiva $f_1(x)=(x^2+x)(x+1)-x-1$
Adesso come continuo l'esercizio?
Adesso, per esprimere $f_1(x)$ come prodotto di fattori irriducibili(cioè polinomi con grado = 1), dovrei dividere ancora il quoziente per $x+1$ è così?
"gaten":Non hai sbagliato i calcoli, però hai fatto un erroraccio.
Ho applicato ruffini, ottenendo:
Quoziente = $x^2+x$ e Resto= $-x-1$
in definitiva $f_1(x)=(x^2+x)(x+1)-x-1$
Il resto deve avere grado minore del polinomio divisore.
Infatti il resto è zero: $f_1 (x)=(x+1)(x^2+x-1)$
Hai ragione, che cavolata che ho scritto!
In definitiva mi viene come hai scritto tu.
Gi8 adesso, come continuo l'esercizio? Devo dividere ancora $x^2+x-1$ per $x+1$ (in quanto devo ottenere prodotti di polinomi irriducibili).
Grazie
In definitiva mi viene come hai scritto tu.
Gi8 adesso, come continuo l'esercizio? Devo dividere ancora $x^2+x-1$ per $x+1$ (in quanto devo ottenere prodotti di polinomi irriducibili).
Grazie
"gaten":No, e perchè mai?
Devo dividere ancora $x^2+x-1$ per $x+1$
$x+1$ è di grado $1$, quindi è irriducibile. Questo rimane così com'è
$x^2+x-1$ è di grado $2$. Cerchiamo di capire se è irriducibile:
come hai scritto prima nel punto (iii), se un polinomio ha grado 2 è irriducibile $<=>$ non ha radici.
Cerca dunque le radici di quel polinomio (non ti azzardare a chiedermi come si fa
)
Ovviamente per calcolare le radici del polinomio ho studiato $x^2+x-1=0$. Ho ottenuto due soluzioni:
$x_1=(-1+sqrt(5))/2$ e
$x_2=(-1-sqrt(5))/2$
Quindi dalla proposizione che ho scritto prima, deduco che $x^2+x-1$ non è irriducibile poichè ho ottenuto due soluzioni?
$x_1=(-1+sqrt(5))/2$ e
$x_2=(-1-sqrt(5))/2$
Quindi dalla proposizione che ho scritto prima, deduco che $x^2+x-1$ non è irriducibile poichè ho ottenuto due soluzioni?
Certamente: dunque $x^2+x-1=[x-( (-1+sqrt5)/2 )]*[x-((-1-sqrt5)/2 )]$
(lo so, è un po' bruttino, ma tant'è)
(lo so, è un po' bruttino, ma tant'è)
Ok perfetto, quindi in definitiva posso dire che il prodotto tra:
${[x-((-1+sqrt(5))/2)]*[x-((-1-sqrt(5))/2)]}*(x+1)=f_1(x)$
cioè il prodotto di questi due polinomi irriducibile è uguale al polinomio di partenza $f_1(x)$
${[x-((-1+sqrt(5))/2)]*[x-((-1-sqrt(5))/2)]}*(x+1)=f_1(x)$
cioè il prodotto di questi due polinomi irriducibile è uguale al polinomio di partenza $f_1(x)$
Precisamente
Gi8 grazie mille per il tuo aiuto, volevo approfittare per risolvere un altro quesito:
Questo è il polinomio: $f_3(x) = x^4+2x^2+1$
praticamente mi chiede: Determinare per quali valori del primo $p$ il seguente polinomio in $Z_p[x]$ risulta divisibile per $x-1$
non riesco a capire cosa vuole precisamente
Questo è il polinomio: $f_3(x) = x^4+2x^2+1$
praticamente mi chiede: Determinare per quali valori del primo $p$ il seguente polinomio in $Z_p[x]$ risulta divisibile per $x-1$
non riesco a capire cosa vuole precisamente
Un polinomio è divisibile per $x-1$ se e solo se...
Un polinomio $A(x)$ è divisibile per un altro polinomio $B(x)$ se e solo se il resto è nullo.
Quello che volevo farti dire è che $f_3(x)$ è divisibile per $x-1$ se e solo se $f_3(1)=0$
Ora, quanto vale $f_3 (1)=$? vale $4$.
Detto questo dovresti arrivare alla soluzione
Ora, quanto vale $f_3 (1)=$? vale $4$.
Detto questo dovresti arrivare alla soluzione
Perdonami Gi8, ma non riesco a capire , una volta risolto il polinomio ($f_3(1)=4$) cosa concludo??
L'esercizio in pratica ti chiede per quali $p$ si ha che $f_3(1)=0$.
Siccome noi abbiamo $f_3(1)=4$, la domanda che sorge spontanea è : "Per quali $p$ si ha che $0-=_p 4$?"
Siccome noi abbiamo $f_3(1)=4$, la domanda che sorge spontanea è : "Per quali $p$ si ha che $0-=_p 4$?"
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