S5
Ciao a tutti. Potreste aiutarmi con questo esercizio?
Mostrare che il gruppo simmetrico sull'insieme {1,2,3,4,5} è generato da trasposizioni semplici, i.e.
S5= <(12)(23)(34)(45)> e mostrare che S5= <(12)(12345)>
Grazie mille
Mostrare che il gruppo simmetrico sull'insieme {1,2,3,4,5} è generato da trasposizioni semplici, i.e.
S5= <(12)(23)(34)(45)> e mostrare che S5= <(12)(12345)>
Grazie mille
Risposte
[xdom="vict85"]Il [regolamento]1_2[/regolamento] prevede un tentativo da parte tua.[/xdom]
Opinioni su come sia possibile risolverlo?
Comunque hai scritto il testo sbagliato. Devi dimostrare che \(\mathfrak{S}_5 = \langle (12), (23), (34), (45)\rangle\) e che \(\mathfrak{S}_5 = \langle (12), (12345)\rangle\). Insomma \(\mathfrak{S}_5\) non è generato da un singolo elemento.
Il metodo più semplice è dimostrare che quegli insiemi generano tutti gli (altri) scambi. Per il primo non è troppo difficile, prova a fare qualche prodotto e vedi cosa ti esce.
Opinioni su come sia possibile risolverlo?
Comunque hai scritto il testo sbagliato. Devi dimostrare che \(\mathfrak{S}_5 = \langle (12), (23), (34), (45)\rangle\) e che \(\mathfrak{S}_5 = \langle (12), (12345)\rangle\). Insomma \(\mathfrak{S}_5\) non è generato da un singolo elemento.
Il metodo più semplice è dimostrare che quegli insiemi generano tutti gli (altri) scambi. Per il primo non è troppo difficile, prova a fare qualche prodotto e vedi cosa ti esce.
Avevo provato a risolverlo facendo considerazioni sull'ordine. So che l'ordine di $S_5$ è 120 e so che l'ordine divide n ma ho ricavato ben poco.
Ho provato a fare dei "calcoli", ho moltiplicato i cicli disgiunti ma quello che ho ottenuto è stato:
$((1,2))$ $((2,3))$ $((3,4))$ $((4,5))$ = $((2,3,4,5,1))$
Insomma...un bico nell'acqua. Purtroppo il mio professore non mi ha fornito molte informazioni e in internet ho capito poco.
Grazie per l'aiuto.
Ho provato a fare dei "calcoli", ho moltiplicato i cicli disgiunti ma quello che ho ottenuto è stato:
$((1,2))$ $((2,3))$ $((3,4))$ $((4,5))$ = $((2,3,4,5,1))$
Insomma...un bico nell'acqua. Purtroppo il mio professore non mi ha fornito molte informazioni e in internet ho capito poco.
Grazie per l'aiuto.
Quando tu usi l'operazione di coniugio su una permutazione, cosa succede? Che la permutazione ha la stessa struttura ciclica. Siccome vogliamo trovare scambi, da scambi, la cosa più sensata è quella di usare il coniugio.
\((12)(23)(12) = (13)\)
quindi aggiungiamo \((13)\) agli elementi che sono stati generati.
\((13)(34)(13) = (14)\)
quindi aggiungiamo \((14)\) agli elementi che sono stati generati.
\((14)(45)(14) = (15)\)
quindi aggiungiamo \((15)\) agli elementi che sono stati generati.
Nota che si ha che \(\mathfrak{S}_5 = \langle(12),(13),(14),(15)\rangle\). Infatti generano ogni altro scambio: \((nm) = (1m)(1n)(1m)\).
Che l'insieme di tutti gli scambi genera tutto \(\mathfrak{S}_5\) lo sai fare?
Il secondo è simile. Devi comunque usare il coniugio.
\((12)(23)(12) = (13)\)
quindi aggiungiamo \((13)\) agli elementi che sono stati generati.
\((13)(34)(13) = (14)\)
quindi aggiungiamo \((14)\) agli elementi che sono stati generati.
\((14)(45)(14) = (15)\)
quindi aggiungiamo \((15)\) agli elementi che sono stati generati.
Nota che si ha che \(\mathfrak{S}_5 = \langle(12),(13),(14),(15)\rangle\). Infatti generano ogni altro scambio: \((nm) = (1m)(1n)(1m)\).
Che l'insieme di tutti gli scambi genera tutto \(\mathfrak{S}_5\) lo sai fare?
Il secondo è simile. Devi comunque usare il coniugio.
Reiterando i procedimenti da te descritti ottengo tutte le altre trasposizioni. Lo stesso per dimostrare che $S_5$=$< (1,2) (1,2,3,4,5) >$
basta che io provi che $((1,2,3,4,5))$ e $((1,2))$ generino tutte le possibili trasposizioni. Ad esempio:
$\sigma$ = $((1,2))$ e $\gamma$ = $((1,2,3,4,5))$
Considero $\gamma$ • $\sigma$ • $\sigma^(-1)$ = $((1,2))$
Lo faccio per ogni potenza, ossia $\gamma^2$ • $\sigma$ • $\sigma^(-2)$ = $((13))$ e ottengo tutte le trasposizioni.
Ho capito bene?
basta che io provi che $((1,2,3,4,5))$ e $((1,2))$ generino tutte le possibili trasposizioni. Ad esempio:
$\sigma$ = $((1,2))$ e $\gamma$ = $((1,2,3,4,5))$
Considero $\gamma$ • $\sigma$ • $\sigma^(-1)$ = $((1,2))$
Lo faccio per ogni potenza, ossia $\gamma^2$ • $\sigma$ • $\sigma^(-2)$ = $((13))$ e ottengo tutte le trasposizioni.
Ho capito bene?
"Rosaaaa":
Reiterando i procedimenti da te descritti ottengo tutte le altre trasposizioni. Lo stesso per dimostrare che $S_5$=$< (1,2) (1,2,3,4,5) >$
basta che io provi che $((1,2,3,4,5))$ e $((1,2))$ generino tutte le possibili trasposizioni. Ad esempio:
$\sigma$ = $((1,2))$ e $\gamma$ = $((1,2,3,4,5))$
Considero $\gamma$ • $\sigma$ • $\sigma^(-1)$ = $((1,2))$
Lo faccio per ogni potenza, ossia $\gamma^2$ • $\sigma$ • $\sigma^(-2)$ = $((13))$ e ottengo tutte le trasposizioni.
Ho capito bene?
Prima un piccolo commento sulle formule. Scrivi l'intera formula tra dollari:
$\gamma \circ \sigma \circ \sigma^(-1) = ((1,2))$viene $\gamma \circ \sigma \circ \sigma^(-1) = ((1,2))$. In generale, facilita la lettura.
Secondariamente, quello che scrivi non ha senso: \(\displaystyle \gamma \circ \sigma \circ \sigma^(-1) = \gamma \)! Mi fa venire il dubbio che tu non sappia cosa sia l'operazione di coniugio.
Ho scritto male, la fretta!
Volevo scrivere
$\gamma \circ \sigma \circ \gamma^(-1)$
Volevo scrivere
$\gamma \circ \sigma \circ \gamma^(-1)$
Ok, ma \(\gamma\sigma\gamma^{-1} = (12345)(12)(15432) = (23)\).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo