\(S \approx \wp(S)\) finiti
Salve,
vorrei avere un parere di un fatto un po' assurdo, almeno per me.
Avendo un insieme $S$ non vuoto, finito cioè di cardinalità $|S|< \aleph_0$.
E' possibile che le cardinalità \(|S|= |\wp(S)|\) con \(|\wp(S)|< \aleph_0\) (perciò anch'esso finito).
Ci può essere equipotenza tra $S$ e l'insieme \(\wp(s)\)?
Non importa molto cosa sia $S$, vorrei sapere se in campo finito (numerabile) una cosa del genere è possibile, se fosse vero perchè è così?
Conoscendo Cantor direi che è impossibile (mi pare che nemmeno in campo non-numerabile/infinito una cosa del genere è definibile)
Ringrazio
EDIT:
questa "uguaglianza" ho scoperto che è un abuso di linguaggio del testo che ho utilizzato. Ma comunque vorrei avere un parere in merito, è una curiosità
vorrei avere un parere di un fatto un po' assurdo, almeno per me.
Avendo un insieme $S$ non vuoto, finito cioè di cardinalità $|S|< \aleph_0$.
E' possibile che le cardinalità \(|S|= |\wp(S)|\) con \(|\wp(S)|< \aleph_0\) (perciò anch'esso finito).
Ci può essere equipotenza tra $S$ e l'insieme \(\wp(s)\)?
Non importa molto cosa sia $S$, vorrei sapere se in campo finito (numerabile) una cosa del genere è possibile, se fosse vero perchè è così?
Conoscendo Cantor direi che è impossibile (mi pare che nemmeno in campo non-numerabile/infinito una cosa del genere è definibile)
Ringrazio
EDIT:
questa "uguaglianza" ho scoperto che è un abuso di linguaggio del testo che ho utilizzato. Ma comunque vorrei avere un parere in merito, è una curiosità
Risposte
Forse volevi richiedere che l'insieme \(S\) sia infinito ed equipotente all'insieme delle sue parti finite, perché nel caso finito è banalmente falso già con l'insieme vuoto!
ah grazie
questa è la definizione...
cmq intendevo questo, immaginavo fosse n'assurdità. Grazie della conferma
"j18eos":
Forse volevi richiedere che l'insieme \(S\) sia infinito ed equipotente all'insieme delle sue parti finite
questa è la definizione...
perché nel caso finito è banalmente falso già con l'insieme vuoto!
cmq intendevo questo, immaginavo fosse n'assurdità. Grazie della conferma
Mi è venuta in mente una dimostrazione non troppo complicata, la quale utilizza una tecnica abbastanza standard e il teorema di Cantor-Bernstein-Schöder.
Banalmente, sia \(S\) infinito e si ponga \(\Omega\) l'insieme delle sue parti finite, l'applicazione \(f:x\in S\to\{x\}\in\Omega\) è iniettiva.
Sia \(I(\Omega;S)=I\) l'insieme delle applicazioni iniettive a dominio in un sottoinsieme di \(\Omega\) e come insieme immagine un sottoinsieme di \(S\), esso non è vuoto in quanto \(g:\{x\}\in\Omega\to x\in S\) è un elemento di \(I\).
Si ordini \(I\) in modo che \(\varphi;\psi\in I,\,\varphi\preceq\psi\stackrel{d e f .}{\iff}\big(dom(\varphi)\subseteq dom(\psi)\,\land\psi_{|dom(\varphi)}=\varphi\big)\), si consideri una catena (un sottoinsieme bene ordinato) di \(I\), dimostri che ha un elemento massimale (basta considerare la funzione che ha per dominio l'unione dei domini delle funzioni di questa catena); per il lemma di Zorn \((I;\preceq)\) ha un elemento massimale \(m\), dimostri che \(dom(m)=\Omega\), cosicché \(m\) è una funzione iniettiva da \(\Omega\) ad \(S\) ovvero l'asserto per il teorema di Cantor-Bernstein-Schöder.
Il punto dolente è tirare in ballo che funziona proprio con \(\Omega\) definito come insieme delle parti finite dell'insieme infinito \(S\)!
Ovviamente questa è una bozza di dimostrazione che dovrebbe funzionare; in alternativa, dovrei recuperare una dimostrazione in cui si costruisce (in modo accidentato) una tale iniezione \(m:\Omega\to S\)!
Banalmente, sia \(S\) infinito e si ponga \(\Omega\) l'insieme delle sue parti finite, l'applicazione \(f:x\in S\to\{x\}\in\Omega\) è iniettiva.
Sia \(I(\Omega;S)=I\) l'insieme delle applicazioni iniettive a dominio in un sottoinsieme di \(\Omega\) e come insieme immagine un sottoinsieme di \(S\), esso non è vuoto in quanto \(g:\{x\}\in\Omega\to x\in S\) è un elemento di \(I\).
Si ordini \(I\) in modo che \(\varphi;\psi\in I,\,\varphi\preceq\psi\stackrel{d e f .}{\iff}\big(dom(\varphi)\subseteq dom(\psi)\,\land\psi_{|dom(\varphi)}=\varphi\big)\), si consideri una catena (un sottoinsieme bene ordinato) di \(I\), dimostri che ha un elemento massimale (basta considerare la funzione che ha per dominio l'unione dei domini delle funzioni di questa catena); per il lemma di Zorn \((I;\preceq)\) ha un elemento massimale \(m\), dimostri che \(dom(m)=\Omega\), cosicché \(m\) è una funzione iniettiva da \(\Omega\) ad \(S\) ovvero l'asserto per il teorema di Cantor-Bernstein-Schöder.
Il punto dolente è tirare in ballo che funziona proprio con \(\Omega\) definito come insieme delle parti finite dell'insieme infinito \(S\)!
Ovviamente questa è una bozza di dimostrazione che dovrebbe funzionare; in alternativa, dovrei recuperare una dimostrazione in cui si costruisce (in modo accidentato) una tale iniezione \(m:\Omega\to S\)!
mi ero perso questa tua risposta.
molto interessante. Ti ringrazio molto, anche se dici che è una bozza, mi basta l'intuzione di ciò
molto interessante. Ti ringrazio molto, anche se dici che è una bozza, mi basta l'intuzione di ciò
"j18eos":In effetti non è vero!
...per il lemma di Zorn \((I;\preceq)\) ha un elemento massimale \(m\), dimostri che -->\(dom(m)=\Omega\)<--, cosicché \(m\) è una funzione iniettiva da \(\Omega\) ad \(S\) ovvero l'asserto per il teorema di Cantor-Bernstein-Schöder.
Il punto dolente è tirare in ballo che funziona proprio con \(\Omega\) definito come insieme delle parti finite dell'insieme infinito \(S\)!
Infatti, l'insieme immagine di una funziona massimale in \((I;\preceq)\) è \(S\) per cui una tale funzione non è estendibile a una funzione iniettiva e può benissimo accadere, come nell'esempio del post precedente, che il dominio non sia \(\Omega\).Considerata la famiglia \(\mathscr{M}\) degli elementi massimali in \((I;\preceq)\), si ha che: \(\forall f\in\mathscr{M},\,M_f=f^{-1}(S)\subseteq\Omega\), e se non valesse mai il segno di eguaglianza sarebbe banalmente: \[\Omega=\bigcup_{f\in\mathscr{M}}M_f\] altrimenti esisterebbe un sottoinsieme finito di \(S\) non associabile mediante una funzione iniettiva a un elemento di \(S\): ciò è assurdo.
Ben ordinando i sottoinsiemi finiti (non c'è bisogno del'assioma della scelta) di \(S\), risulta che \(\Omega=\displaystyle{\bigcup_{x\in S}}\{T\in\Omega\mid\min T=x\}\) e resta ben definita l'applicazione (suriettiva) \(\varphi:T\in\Omega\to\min T\in S\); in particolare \(\exists f\in\mathscr{M}\mid\forall T\in dom(f),\,f(T)=\min T\in S\) e si possono determinare delle funzioni iniettive da \(\Omega\) in \(S\) a domini disgiunti la cui unione è \(\Omega\).
\(\vdots\)
non riesco ad andare oltre!
Riporto la bozza della dimostrazione classica: \(\forall n\in\mathbb{N},\,\varphi_n:(x_k)\in S^n\to\{x_k\}\in\Omega\), considerato \(T=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}S^n\); quest'ultimo insieme è equipotente ad \(S\), considerata la funzione \(\varphi:T\to\Omega\mid\varphi_{\big/S^n}=\varphi_n\) si ottiene una funzione suriettiva di \(S\) in \(\Omega\).
Indi: \(S\) è equipotente all'insieme delle sue parti finite!
j18eos ti devo propro ringraziare. 
Non solo per la risposta (non facile), ma perchè mi hai dato alcuni spunti su cui riflettere per un ulteriore problema, legato in parte a questo post.
Ero in stallo da una settimana, o più, in un dannato punto fisso (nel vero senso del termine), non riuscivo a smuovermi; mi hai mostrato alcuni metodi che sono stati quasi fondamentali per capire dove sbagliavo nel ragionamento.
Un Grazie, davvero
Non solo per la risposta (non facile), ma perchè mi hai dato alcuni spunti su cui riflettere per un ulteriore problema, legato in parte a questo post.
Ero in stallo da una settimana, o più, in un dannato punto fisso (nel vero senso del termine), non riuscivo a smuovermi; mi hai mostrato alcuni metodi che sono stati quasi fondamentali per capire dove sbagliavo nel ragionamento.
Un Grazie, davvero
Sono lusingato... e sono contento per te! 
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