Ruffini e dintorni

[Tommy94]

Ciao a tutti,
sono nuovo del forum e spero di non aver sbagliato collocazione.

Avrei due domande per le quali non so esattamente cosa cercare in rete.

1) In relazione alla "divisione euclidea dei polinomi", si enunci e dimostri il teorema di Ruffini. Secondo voi è quel che viene si studia in 1° liceo oppure ne esiste una dimostrazione più generale, diciamo "ufficiale"?

2) date $f(x)= x^3 + 3x + 1$ e $g(x) = x^2 - 1$ si determinino, se possibile, due polinomi a(x) e b(x) con coefficienti razionali tali che $1 = f(x)a(x) + g(x)b(x)$.
Si procede per tentativi dividendo $f(x)$ per $g(x)$ e poi dividendo sia $f(x)$ che $q(x)$ per il resto $r(x)$ oppure esiste qualche th. che mi dice prima se è possibile e poi come fare esattamente?

Spero che a qualcuno l'argomento possa interessare in modo da aiutarmi.

[Kashaman]

per il primo, il teorema è in seguente :
1) Sia $L$ un campo.Sia $K$ un sottocampo di L. $f(x) $ un polinomio a coefficienti in $K$.
ed $\alpha in L$ . $\alpha in L$ è radice di $f(x) <=> (x-\alpha)| f(x) $ in $L[x]$.
E la dimostrazione è banalissima, provaci.
2) Il testo non ti sta chiedendo altro che
a) verificare che $f,g$ sono comprimi (trovandone il g.c.d ovviamente )
NB : anche se in questo caso potresti anche vederlo subito verificando che $+-1$ non sono radici di $f(x)$ ed avresti a gratis che sono coprimi (why?)
in questo caso, visto che devi trovare $a(x),b(x)$ ti conviene trovare il m.c.d con l'algoritmo di euclide e successivamente
trovare i coefficienti di Bezout, che risultano essere proprio $a(x),b(x)$.
Prove it

PS: la questione è algebrica più che geometria a mio modo di vedere, comunque benvenuto!

[Tommy94]

Grazie per la risposta
Vediamo se ho capito: a prescindere da campi e sottocampi che ancora non so cosa siano, la divisione euclidea dei polinomi ci assicura che esistono unici due polinomi $q(x)$ e $r(x)$ tali che $a(x)=q(x)b(x) + r(x)$ e che $-1<=deg(r(x))
Per il secondo penso di aver capito nel senso: detto $d(x)$ il M.C.D. di f(x) e g(x), è possibile determinare due polinomi a(x) e b(x) tali che $d(x)= f(x)a(x) + g(x)b(x)$. Essendo nel nostro caso $d(x) = 1$, significa che il M.C.D. è 1 e quindi f(x) e g(x) devono essere coprimi, cosa verificabile, come suggerisci, immediatamente perchè $g(x)=(x-1)(x+1)$ e non essendo $x=+-1$ radici di f(x) allora f(x) non contiene nè (x-1) nè (x+1) fra i propri fattori e quindi è coprimo di g(x). Quindi, determinato il M.C.D. con l'algoritmo di Euclide, ricavo a ritroso il polinomi a(x) e b(x).
Il fatto che trovi come M.C.D. $-15/16$ significa che a(x) e b(x) sono determinati a meno di una costante moltiplicativa?

Perdona se ho sbagliato, ma questo non è un forum di algebra?

[Kashaman]

"Tommy94":Grazie per la risposta
Vediamo se ho capito: a prescindere da campi e sottocampi che ancora non so cosa siano, la divisione euclidea dei polinomi ci assicura che esistono unici due polinomi $q(x)$ e $r(x)$ tali che $a(x)=q(x)b(x) + r(x)$ e che $-1<=deg(r(x))

mmh, -1? dove lo leggi scusa? A parte questo ciò che devi dimostrare è questo.
Sia L un campo e Sia $\alpha in K$ ove $K$ è un sotto campo qualunque .
$f(\alpha)=0 <=> (x-\alpha)|f(x)$ in $L[x]$
dimostrazione :

$<$$=$ supponiamo che $(x-\alpha)|f(x) <=> f(x)=(x-\alpha)q(x)$ ove $q(x)$ è un certo polinomio in $L[x]$.
Valutando il polinomio in $\alpha$ si ha che $f(\alpha)=(\alpha-\alpha)q(\alpha)=0*q(\alpha)=0$ . dunque questa implicazione risulta essere verificata.
$=>$ Consideriamo la divisione euclidea di $f(x)$ per $(x-\alpha)$ , abbiamo che
$f(x)=(x-\alpha)q(x)+r(x)$ con $0<=degr essendo $deg(x-\alpha)=1$ , $degr$ non può che essere 0. Dunque $r(x)$ è costante , chiamiamolo $r_0$
Poiché per ipotesi $f(\alpha)=0 => r_0=0$ da cui, si ha che $(x-\alpha)|f(X)$

Per il secondo penso di aver capito nel senso: detto $d(x)$ il M.C.D. di f(x) e g(x), è possibile determinare due polinomi a(x) e b(x) tali che $d(x)= f(x)a(x) + g(x)b(x)$. Essendo nel nostro caso $d(x) = 1$

alt , questo devi provare, a priori non lo sai dall'esercizio.

significa che il M.C.D. è 1 e quindi f(x) e g(x) devono essere coprimi, cosa verificabile, come suggerisci, immediatamente perchè $g(x)=(x-1)(x+1)$ e non essendo $x=+-1$ radici di f(x) allora f(x) non contiene nè (x-1) nè (x+1) fra i propri fattori e quindi è coprimo di g(x). Quindi, determinato il M.C.D. con l'algoritmo di Euclide, ricavo a ritroso il polinomi a(x) e b(x).
Il fatto che trovi come M.C.D. $-15/16$ significa che a(x) e b(x) sono determinati a meno di una costante moltiplicativa?

si $a(x),b(x)$ non sono univocamente determinati.
Attenzione però, quando calcoli il mcd trovi per il lemma di bezout un'espressione del tipo
$f(x)a(x)+g(x)b(x)=-15/16$(1) . Devi ricordarti che quando trovi a,b devi moltiplicarli per $-16/15$
per ottenere poi i coefficienti $a'(x) , b'(x)$che soddisfano questa relazione :
$f(x)a'(x)+g(x)b'(x)=1$

Perdona se ho sbagliato, ma questo non è un forum di algebra?

si e che prima avevi postato in geometria, questo argomento è più di algebra astratta..

[Tommy94]

Grazie, sei stato chiarisimo.

Per quanto riguarda il grado del resto ho trovato in rete (assolutamente niente di illegale)
http://matematica.unica.it/fileadmin/documenti/didattica/algebra1.pdf

a pag 108 del file, (114 del pdf) e, come dicevo, non mi è chiaro perchè (pur essendo riportato in due o tre punti)

per quanto riguarda invece il th. di bezout (così per qualcuno, lemma per qualcun altro) ho dedotto
$d(x)=f(x)a(x) + g(x)b(x)$ da una dimostrazione che però ho trovato solo relativamente ai numeri interi: non c'è stato verso di trovarla applicata direttamente ai polinomi. Sapresti indicarmi dove cercare?


PS. Ora mi accorgo di averti dato impudentemente del "tu" senza esserne autorizzato. Se la cosa ti disturba .... dimmelo

[Kashaman]

e perché mai dovresti darmi del lei? sono uno studente ed appassionato come te. Qui si da tutti del tu !
si hai ragione , compare un -1 nel pdf. questo è dovuto al fatto che alcuni autori attribuiscono al polinomio nullo il grado -1, per convenzione.
Per la seconda questione, la dimostrazione procede più o meno come per gli interi, si deve un po giocare con i gradi dei polinomi della forma $a(x)f(x)+b(x)g(x)$.. appena ho tempo e se non ti vengono idee, ti posto il mio tentativo di dimostrazione. (sempre che non lo faccia qualcun altro)