Rotazioni con i quaternioni

[mklplo751]

Salve,mi servirebbe ,gentilmente, il vostro aiuto con un argomento per favore.
Non riesco proprio a capire come applicare i quaternioni(che comunque non mi sono chiari) alle rotazioni.
A qualcuno dispiacerebbe darmi una dritta ?

[spugna2]

Se identifichiamo $RR^3$ come l'insieme dei quaternioni con parte reale nulla, cioè quelli del tipo $bi+cj+dk$ con $b,c,d \in RR$ (o equivalentemente quelli per cui vale $x+\overline{x}=0$), allora un quaternione $q \ne 0$ definisce una trasformazione $\phi_q: RR^3 \rightarrow RR^3$ che manda $x$ in $qxq^{-1}$, e che risulta essere una rotazione in quanto:

- è effettivamente una trasformazione di $RR^3$, cioè $\phi_q(x)$ è sempre un quaternione con parte reale nulla, infatti

$\phi_q(x)+\overline{\phi_q(x)}=qxq^{-1}+\overline{qxq^{-1}}=qxq^{-1}+\overline{q^{-1}} \overline{x} \overline{q}=qxq^{-1}+q \overline{x}q^{-1}=q(x+\overline{x})q^{-1}=0$,

ed è invertibile perché ha come inversa $\phi_{q^{-1}}$;

- è lineare, come si può verificare con un conto analogo;

- conserva la distanza dall'origine, perché $|\phi_q(x)|=|qxq^{-1}|=|q|*|x|*|q^{-1}|=|x|$;

- conserva l'orientazione, perché i quaternioni diversi da $0$ formano uno spazio topologico connesso e $\phi_1$ è l'identità.

Si osserva inoltre che $\phi_{q_1q_2}=\phi_{q_1} \circ \phi_{q_2}$, il che significa che il prodotto tra i quaternioni si comporta esattamente come la composizione tra le rotazioni.

[mklplo751]

Grazie per l'aiuto

[dissonance]

"spugna":Se identifichiamo $RR^3$ come l'insieme dei quaternioni con parte reale nulla, cioè quelli del tipo $bi+cj+dk$ con $b,c,d \in RR$ (o equivalentemente quelli per cui vale $x+\overline{x}=0$), allora un quaternione $q \ne 0$ definisce una trasformazione $\phi_q: RR^3 \rightarrow RR^3$
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Bella spiegazione, grazie!