Rompicapo teoria dei numeri... primi

[AABB1]

Salve, a tutti, sto cercando di risolvere questo problema.
Consideriamo il seguente numero:
1970X0191
Quale valore occorre assegnare alla x affinchè il numero ottenuto risulti contemporaneamente divisibile per 11 e per 3.

....ho provato a dare la seguente soluzione, ma non funziona...
1) ho imposto che la differenza in valore assoluto tra tra somma delle cifre pari e quelle dispari sia pari ad un multiplo di 11, con il fattore moltiplicativo intero positivo o nullo
2) ho imposto che la somma delle cifre del numero dia un multiplo di 3 con il fattore moltiplicativo intero positivo o nullo

Alla fine ho ottenuto un sistema che però non ammette soluzioni intere.
Potete aiutarmi a risolvere il problema?
grazie

[adaBTTLS1]

la soluzione è X=8:
$1+9+7+1+9+1 -= 1 (mod 3)$
$1+7+X+1+1=10+X$
$9+0+0+9=18$

$10+X=18 -> X=8$
dunque $197080191$ è divisibile per $11$
e $8 -= 2 (mod 3)$, per cui $197080191$ è divisibile per $3$

quale sistema avevi scritto?