Risultante tra due polinomi

[reggerg]

Salve, mi sono da poco inbattuto in questo esercizio:

Il seguente polinomio ha una radice ripetuta?

$x^3 + x +2$

La soluzione è:



Non ho capito come si fa a fare la risultante tra due polinomi e perchè il polinomio non ha radici ripetute, grazie a tutti

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Se il polinomio $f(x)$ ha una radice ripetuta, chiamiamola $a$, allora puoi scrivere $f(x)=(x-a)^2 g(x)$ per qualche polinomio $g(x)$. Allora la derivata di $f$ è (uso la regola della derivata di un prodotto)

$f'(x) = 2(x-a)g(x)+(x-a)^2g'(x)$

quindi $f'(a)=0$. Ne segue che qualsiasi radice ripetuta di $f$ dev'essere radice della derivata di $f$.

Ps. Sposto in Algebra. Attenzione alla sezione grazie.