Risultante e discriminante
Ciao, amici! Leggo che, dati due polinomi monici \(f,g\in R[X]\) su un anello \(f,g\in R[X]\) vale la seguente relazione tra discriminanti e risultante\[\Delta_{fg}=\Delta_{f}\cdot \Delta_{g}\cdot \text{R}(f,g)^2\]Ora, so che il risultante è moltiplicativo e quindi direi che, chiamato $m$ il grado di $f$ e $n$ quello di $g$, tenendo conto che \(\Delta_{f}=(-1)^{m(m-1)/2}\text{R}(f,f')\) e \(\text{R}(f,g)=(-1)^{mn}\text{R}(g,f)\), valga
\( \Delta_{f}\Delta_{g} \text{R}(f,g)^2=(-1)^{m(m-1)/2}\text{R}(f,f')\text{R}(f,g)\cdot(-1)^{n(n-1)/2}\text{R}(g,g')\cdot (-1)^{mn}\text{R}(g,f)\)
\(=(-1)^{(m+n)(m+n-1)/2}\text{R}(f,f'g)\text{R}(g,fg')\), ma non mi è chiaro come si possa leggere in questa formula il discriminante di $fg$, che direi sia \(\Delta_{fg}=(-1)^{(m+n)(m+n-1)/2}\text{R}(fg,fg'+f'g)\)...
Qualcuno saprebbe aiutarmi?
$\infty$ grazie a tutti!!!
\( \Delta_{f}\Delta_{g} \text{R}(f,g)^2=(-1)^{m(m-1)/2}\text{R}(f,f')\text{R}(f,g)\cdot(-1)^{n(n-1)/2}\text{R}(g,g')\cdot (-1)^{mn}\text{R}(g,f)\)
\(=(-1)^{(m+n)(m+n-1)/2}\text{R}(f,f'g)\text{R}(g,fg')\), ma non mi è chiaro come si possa leggere in questa formula il discriminante di $fg$, che direi sia \(\Delta_{fg}=(-1)^{(m+n)(m+n-1)/2}\text{R}(fg,fg'+f'g)\)...
Qualcuno saprebbe aiutarmi?
$\infty$ grazie a tutti!!!
Risposte
Sono d'accordo con tutto quello che hai scritto, e non trovo una strada diretta per dimostrare l'uguaglianza passando per la strada che hai usato tu. Quindi, pensiamola così:
Supponiamo $f,g$ monici. Se non sono monici ci sarà qualche scalare da sistemare. Chiamiamo $a_1 , ... , a_m$ le radici di $f$ contante con molteplicità, e $b_1 ,...,b_n$ quelle di $g$. Allora, il discriminante di $f$ è
\[
\Delta_f = \Pi _{i < j} (a_i - a_j)^2
\]
e in maniera simile $\Delta_g$. Il risultante di $f$ e $g$ sarà
$R(f,g) = \Pi _{i,j}(a_i - b_j)$.
Ora, le radici di $fg$ sono tutte le $a$ e tutte le $b$. Mettendo insieme le cose viene fuori proprio l'uguaglianza (spero)
\[
\Delta_{fg} = \Delta_f \Delta_g R(f,g)^2 .
\]
Stavo cercando una fonte per questo ragionamento, ma ho trovato solo delle dispensine che non mi sembrano granché. Su Gelfand Kapranov Zelevinski c'è una spiegazione che sembra bella, ma presuppone di sapere un sacco di cose e non riesco a seguirla bene. Forse c'è qualcosa su Cox Little OShea.
Supponiamo $f,g$ monici. Se non sono monici ci sarà qualche scalare da sistemare. Chiamiamo $a_1 , ... , a_m$ le radici di $f$ contante con molteplicità, e $b_1 ,...,b_n$ quelle di $g$. Allora, il discriminante di $f$ è
\[
\Delta_f = \Pi _{i < j} (a_i - a_j)^2
\]
e in maniera simile $\Delta_g$. Il risultante di $f$ e $g$ sarà
$R(f,g) = \Pi _{i,j}(a_i - b_j)$.
Ora, le radici di $fg$ sono tutte le $a$ e tutte le $b$. Mettendo insieme le cose viene fuori proprio l'uguaglianza (spero)
\[
\Delta_{fg} = \Delta_f \Delta_g R(f,g)^2 .
\]
Stavo cercando una fonte per questo ragionamento, ma ho trovato solo delle dispensine che non mi sembrano granché. Su Gelfand Kapranov Zelevinski c'è una spiegazione che sembra bella, ma presuppone di sapere un sacco di cose e non riesco a seguirla bene. Forse c'è qualcosa su Cox Little OShea.
$\infty$ grazie!!! Wow: mi sembra talmente immediato così! E io che andavo a cercare di "passare" per \(\text{R}(f,f'g)\text{R}(g,fg')=\text{R}(fg,fg'+f'g) \)...
Ma di sicuro ci sara' un modo per farlo uscire anche da li'. Forse basta scrivere tutto in coordinate e prendere i determinanti. Non ho il coraggio di provare!
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