Risolvere equazione congurenziale

[gaten]

Ho la seg equazione congruenziale:

$42x -= 1 (mod. n)$ devo individuare per quale $2 <= n <= 10$ l'equazione ammette soluzione , e inoltre devo giustificare l'esistenza e l'unicità di tale intero.

In teoria la prima cosa che mi è venuta in mente è che , $MCD(42,n)=1$ è giusto? come procedo?

[gundamrx91-votailprof]

Stamane dopo un rapido calcolo dovrei aver trovato almeno una soluzione, spero....

$42x-=1_((modn))$ significa che $n|42x-1$, quindi abbiamo che $42x-ny=1$ per $y in ZZ$
Dato che l'esercizio chiede per quale $n$ compreso tra $2$ e $10$ ha soluzione, ho scartato i multipli di $2$ e ho provato gli $n$ primi: $3,5,7$; con $3$ non mi sembra abbia soluzione, mentre con $5$ invece si, quindi la congruenza diventa $42x-=1_(mod5)$. Ho provato anche $mod 7$, ma mi sembra non abbia soluzione, ma non ho indagato molto.

[gaten]

In primis, ho ragionato così:

calcolo il $MCD(42,n)=1$, ovviamente tra gli $n$ che ho a disposizione, escludo quelli pari, e verifico per i dispari,
Provo per $n=5$ applicando bezout ottengo:

$1=5*17-42*2$, $bar(-2)$ in $ Z_5 $ è uguale alla classe $bar(3)$, sostituendo alla x ottengo: $5|42*3-1 => 5|125$, inoltre, un equazione congruenziale del tipo: $ax-=b(mod. n)$ necessita che il $MCD(a, n)=1$ quindi la soluzione è $1$!
Non a caso, l'eq. ha soluzione se il $MCD(a,n)|b$ qui abbiamo il $MCD(42,5)=1$

Qualcuno potrebbe dirmi come spiegare l'unicità di tale $n$???