Risolvente di Lagrange
Ciao, amici! Per costruire un'estensione \(L/K\) risolubile per radicali con $L$ campo di spezzamento di \(f=X^3+p X+q\in K[X]\), supponendo che \(\text{Gal}(L/K)=\mathfrak{S}_3\) come per il polinomio generale di terzo grado, con serie normale \(\text{Gal}(L/K)\supset \mathfrak{A}_3 \supset\{1\}\) (\(\mathfrak{A}_3\) gruppo alterno), l'autore del mio testo aggiunge dapprima a $K$ una radice primitiva dell'unità $\zeta$ e poi \(\delta=\prod_{i"S. Bosch, Algebra":
l'estensione \(L/K(\delta)\) si ottiene per aggiunzione di una radice terza di un elemento di \(K(\delta)\). Seguendo a ritroso la costruzione in 4.8/3, si vede che è possibile scegliere questa radice come un cosiddetto risolvente di Lagrange\[(\zeta,x)=x+\zeta\sigma(x)+\zeta^2\sigma^2 (x)\]per un opportuno elemento \(x\in L\). (Qui $\sigma$ è un generatore del gruppo ciclico [perché di ordine 3] \(\text{Gal}(L/K(\delta))\))
e poi, ponendo \((\zeta,x)=x_1+\zeta x_2+\zeta^2 x_3\) e \((\zeta^2,x)=x_1+\zeta^2 x_2+\zeta x_3\) usa questi due risolventi per trovare $x_1,x_2$ e $x_3$: le radici di $f$.
Ora, nonostante proprio da 4.8/3 sappia che $L$ deve essere \(L=K(\delta,a)\) per qualche $a$ radice di un polinomio di forma \(X^3+c\in K(\delta)[X]\), non vedo come si possa dedurre che esista un $x\in L$ tale che $a=(\zeta,x)$ (se interpreto correttamente ciò che dice il libro). Qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi questa cosa?
Ho verificato che \(\sigma((\zeta,x))=\zeta^2(\zeta,x)\) e \(\sigma^2((\zeta,x))=\zeta (\zeta,x)\), sicché per ogni \(\varphi\in \langle\sigma\rangle =\text{Gal}(L/K(\delta))\) anche \(\varphi((\zeta,x))\) è radice di \(X^3-c\), ma come facciamo a sapere che esista proprio un $x$ tale che $a=(\zeta,x)$? E, riconosciuto questo fatto, come si giustifica che le tre radici del nostro $f$ soddisfino (per la stessa $x$?) \((\zeta,x)=x_1+\zeta x_2+\zeta^2 x_3\) e \((\zeta^2,x)=x_1+\zeta^2 x_2+\zeta x_3\)? Ho fatto innumerevoli tentativi utilizzando i risultati che si trovano nella dimostrazione della 4.8/3 e cercando di utilizzare le diverse varianti del teorema 90 di Hilbert riportate dal Bosch, ma non sono riuscito a verificare nulla...
\(\infty\) a grazie a chi mi aiuterà a vederci più chiaro in questo tema tanto affascinante...
*che meraviglia: finalmente sto studiando il secolare problema dele equazioni di terzo grado utilizzando gli strumenti del'algebra moderna!
l'estensione \(L/K(\delta)\) si ottiene per aggiunzione di una radice terza di un elemento di \(K(\delta)\). Seguendo a ritroso la costruzione in 4.8/3, si vede che è possibile scegliere questa radice come un cosiddetto risolvente di Lagrange\[(\zeta,x)=x+\zeta\sigma(x)+\zeta^2\sigma^2 (x)\]per un opportuno elemento \(x\in L\). (Qui $\sigma$ è un generatore del gruppo ciclico [perché di ordine 3] \(\text{Gal}(L/K(\delta))\))
e poi, ponendo \((\zeta,x)=x_1+\zeta x_2+\zeta^2 x_3\) e \((\zeta^2,x)=x_1+\zeta^2 x_2+\zeta x_3\) usa questi due risolventi per trovare $x_1,x_2$ e $x_3$: le radici di $f$.
Ora, nonostante proprio da 4.8/3 sappia che $L$ deve essere \(L=K(\delta,a)\) per qualche $a$ radice di un polinomio di forma \(X^3+c\in K(\delta)[X]\), non vedo come si possa dedurre che esista un $x\in L$ tale che $a=(\zeta,x)$ (se interpreto correttamente ciò che dice il libro). Qualcuno sarebbe così gentile da spiegarmi questa cosa?
Ho verificato che \(\sigma((\zeta,x))=\zeta^2(\zeta,x)\) e \(\sigma^2((\zeta,x))=\zeta (\zeta,x)\), sicché per ogni \(\varphi\in \langle\sigma\rangle =\text{Gal}(L/K(\delta))\) anche \(\varphi((\zeta,x))\) è radice di \(X^3-c\), ma come facciamo a sapere che esista proprio un $x$ tale che $a=(\zeta,x)$? E, riconosciuto questo fatto, come si giustifica che le tre radici del nostro $f$ soddisfino (per la stessa $x$?) \((\zeta,x)=x_1+\zeta x_2+\zeta^2 x_3\) e \((\zeta^2,x)=x_1+\zeta^2 x_2+\zeta x_3\)? Ho fatto innumerevoli tentativi utilizzando i risultati che si trovano nella dimostrazione della 4.8/3 e cercando di utilizzare le diverse varianti del teorema 90 di Hilbert riportate dal Bosch, ma non sono riuscito a verificare nulla...
\(\infty\) a grazie a chi mi aiuterà a vederci più chiaro in questo tema tanto affascinante...
*che meraviglia: finalmente sto studiando il secolare problema dele equazioni di terzo grado utilizzando gli strumenti del'algebra moderna!
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