Risolvente cubica per studiare il gruppo di Galois di un polinomio di grado 4
Ciao a tutti, sto provando a fare degli esercizi assegnati dal mio professore, alcuni dei quali hanno una soluzione striminzita.
In particolare ho trovato questo esercizio in cui mi si chiede di considerare il polinomio $ x^4+9x^3-6x+24 $ sul campo dei razionali per calcolarne il gruppo di Galois associato. Quest'ultimo è ovviamente irriducibile per Eisenstein, dunque il suo gruppo di Galois è un sottogruppo di $ S_4 $. Per stabilire quale sottogruppo, il mio professore propone di studiare il gruppo di Galois della risolvente cubica associata (dunque mi basta studiarne il determinate e vedere se è un quadrato).
Ciò che non capisco è: in che modo si passa dal polinomio di grado 4 alla risolvente di grado 3? C'è una formula standard per ricavarla, l'ho trovata su wikipedia nella spiegazione del metodo di risoluzione dell'eq. di quarto grado, ma è per la forma ridotta ( $ y^4 +py^2 -qy -r $ , a cui si arriva, stando ai miei appunti, tramite il cambio di variabile $ y-b/(4a) =x $ EDIT: dove a è il coefficiente direttore e b è quello del termine di grado 3 nel polinomio completo). Provando a rifarmi tutti i calcoli non mi trovo con la risolvente data dal prof, cioè $ y^3 -150y - 1980$. Non so se ho sbagliato i calcoli, se ci sono errori sui miei appunti o se semplicemente wikipedia e il mio professore parlano di cose differenti. Qualcuno sa darmi indicazioni?
Oltre questo, una volta trovato il gruppo di Galois della risolvente non capisco come si ricava quello chiesto dall'esercizio. E' per caso un'applicazione del teorema di corrispondenza di Galois? come lo utilizzo?
In particolare ho trovato questo esercizio in cui mi si chiede di considerare il polinomio $ x^4+9x^3-6x+24 $ sul campo dei razionali per calcolarne il gruppo di Galois associato. Quest'ultimo è ovviamente irriducibile per Eisenstein, dunque il suo gruppo di Galois è un sottogruppo di $ S_4 $. Per stabilire quale sottogruppo, il mio professore propone di studiare il gruppo di Galois della risolvente cubica associata (dunque mi basta studiarne il determinate e vedere se è un quadrato).
Ciò che non capisco è: in che modo si passa dal polinomio di grado 4 alla risolvente di grado 3? C'è una formula standard per ricavarla, l'ho trovata su wikipedia nella spiegazione del metodo di risoluzione dell'eq. di quarto grado, ma è per la forma ridotta ( $ y^4 +py^2 -qy -r $ , a cui si arriva, stando ai miei appunti, tramite il cambio di variabile $ y-b/(4a) =x $ EDIT: dove a è il coefficiente direttore e b è quello del termine di grado 3 nel polinomio completo). Provando a rifarmi tutti i calcoli non mi trovo con la risolvente data dal prof, cioè $ y^3 -150y - 1980$. Non so se ho sbagliato i calcoli, se ci sono errori sui miei appunti o se semplicemente wikipedia e il mio professore parlano di cose differenti. Qualcuno sa darmi indicazioni?
Oltre questo, una volta trovato il gruppo di Galois della risolvente non capisco come si ricava quello chiesto dall'esercizio. E' per caso un'applicazione del teorema di corrispondenza di Galois? come lo utilizzo?
Risposte
Usando la "quarta definizione" di wikipedia (vedi qui) mi viene il polinomio che ti ha dato il prof. Probabilmente c'è qualche errore nei tuoi conti (ti consiglio di usare questa "quarta definizione" perché almeno è immediata).
Detto questo, quella cubica è irriducibile per Eisenstein quindi il suo gruppo di Galois è $A_3$ oppure $S_3$, e è $A_3$ se e solo se il discriminante è un quadrato in $QQ$, ma il discriminante viene negativo quindi il gruppo di Galois della risolvente cubica è $S_3$. Ora dovresti sapere che questo significa che il quoziente [tex]G/G \cap K[/tex] è isomorfo a $S_3$ dove $K$ è il gruppo di Klein (contenuto in $S_4$) e $G$ è il gruppo di Galois della tua quartica. Siccome il gruppo di Galois di una quartica irriducibile è transitivo sugli zeri, $G$ è un sottogruppo transitivo di $S_4$ quindi ha ordine divisibile per $4$ e anche per $6$ (perché ha un quoziente isomorfo a $S_3$), ma allora $12$ divide l'ordine di $G$, e gli unici due sottogruppi di $S_4$ di ordine divisibile per $12$ sono $A_4$ e $S_4$, d'altra parte $A_4$ non ha quozienti isomorfi a $S_3$ quindi $G=S_4$.
Mi scuso per l'enorme ritardo nella risposta!
Ok, in realtà il perché dell'isomorfismo del quoziente non mi è chiaro, ma andrò a cercarmi la dimostrazione.
Se invece avessi avuto come gruppo di Galois della risolvente $ A_3 $ ? che condizione avrei potuto sfruttare per determinare G del polinomio di grado 4?
Grazie mille delle risposte, sei chiarissimo!
Ok, in realtà il perché dell'isomorfismo del quoziente non mi è chiaro, ma andrò a cercarmi la dimostrazione.
Se invece avessi avuto come gruppo di Galois della risolvente $ A_3 $ ? che condizione avrei potuto sfruttare per determinare G del polinomio di grado 4?
Grazie mille delle risposte, sei chiarissimo!
Se hai una quartica irriducibile la cui risolvente cubica è irriducibile con gruppo di Galois $A_3$ allora $G//G nn K$ è isomorfo a $A_3$ cioè a $C_3$ quindi $G$ ha ordine divisibile per 3. Ma essendo transitivo $G$ ha ordine divisibile per 4 quindi anche in questo caso $12$ divide $|G|$, quindi anche in questo caso $G$ è $A_4$ o $S_4$. Ma $S_4//S_4 nn K = S_4//K$ è isomorfo a $S_3$ e non a $A_3$ quindi si deve avere $G=A_4$.
Prego!
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