Risoluzioni equazioni diofantee
Ciao ragazzi, è la prima volta che scrivo su questo forum quindi non sono molto pratica.
Il mio problema è questo: la risoluzione delle equazioni diofantee tramite l'uso delle congruenze (mod n).
Considero l'equazione diofantea $ 6*x^3 + x^2 - 9*x +1=0 $
devo verificare che non ammette soluzioni.
Ho pensato di passare ai resti mod 3 così si annullano i termini di terzo e primo grado e ottengo la congruenza
$ x^2+1=0 $ (mod 3)
ora come posso affermare che nn ha soluzioni intere? Ho pensato che i possibili resti nella divisione per tre sono 0 1 2 ma che 2 al quadrato modulo tre diventa la classe 1 modulo tre. Per questo motivo non potrò mai ottenere 0.
E' giusto il ragionamento? Esiste un modo più pratico? Lo chiedo perhè in esempi più complicati non so proprio come muovermi.
Per esempio: $ x^2+ y^2+ z^2=1255 $
passo ai resti mod 8 e ottengo $ x^2+ y^2+ z^2=7 $ mod 8. Ora cosa devo fare? devo pensar a tutti i possibili resti nella divisione per otto e provare a sostituirli?
Grazie per l'aiuto..
Il mio problema è questo: la risoluzione delle equazioni diofantee tramite l'uso delle congruenze (mod n).
Considero l'equazione diofantea $ 6*x^3 + x^2 - 9*x +1=0 $
devo verificare che non ammette soluzioni.
Ho pensato di passare ai resti mod 3 così si annullano i termini di terzo e primo grado e ottengo la congruenza
$ x^2+1=0 $ (mod 3)
ora come posso affermare che nn ha soluzioni intere? Ho pensato che i possibili resti nella divisione per tre sono 0 1 2 ma che 2 al quadrato modulo tre diventa la classe 1 modulo tre. Per questo motivo non potrò mai ottenere 0.
E' giusto il ragionamento? Esiste un modo più pratico? Lo chiedo perhè in esempi più complicati non so proprio come muovermi.
Per esempio: $ x^2+ y^2+ z^2=1255 $
passo ai resti mod 8 e ottengo $ x^2+ y^2+ z^2=7 $ mod 8. Ora cosa devo fare? devo pensar a tutti i possibili resti nella divisione per otto e provare a sostituirli?
Grazie per l'aiuto..
Risposte
Benvenuta nel forum!
Dunque, vediamo.
Il ragionamento è giusto e semplice, e penso non ci sia modo migliore.
Esatto.
E' facile verificare che i quadrati modulo $8$ solo $0,1,4$ (la riduzione modulo $8$ è spesso utile, quindi ad esempio io li ricordo a memoria perché li ho usati più di una volta, ma in ogni caso si verifica in due secondi).
A questo punto è semplice vedere che comunque provi ad inserire questi tre valori in ogni modo possibile, non ottieni mai $7$ come somma.
Ti torna?
Ciao
Dunque, vediamo.
"annabie2":
Ho pensato che i possibili resti nella divisione per tre sono 0 1 2 ma che 2 al quadrato modulo tre diventa la classe 1 modulo tre. Per questo motivo non potrò mai ottenere 0.
E' giusto il ragionamento? Esiste un modo più pratico?
Il ragionamento è giusto e semplice, e penso non ci sia modo migliore.
"annabie2":
$ x^2+ y^2+ z^2=7 $ mod 8. Ora cosa devo fare? devo pensar a tutti i possibili resti nella divisione per otto e provare a sostituirli?
Esatto.
E' facile verificare che i quadrati modulo $8$ solo $0,1,4$ (la riduzione modulo $8$ è spesso utile, quindi ad esempio io li ricordo a memoria perché li ho usati più di una volta, ma in ogni caso si verifica in due secondi).
A questo punto è semplice vedere che comunque provi ad inserire questi tre valori in ogni modo possibile, non ottieni mai $7$ come somma.
Ti torna?
Ciao
Si Si. Va benissimo. Grazie mille 
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