[risolto] Nilpotenza di un p-gruppo finito
Salve a tutti. Sono alle prese col teorema che afferma che ogni p-gruppo
finito G è nilpotente, e sto studiando dal testo `Elementi di Algebra' di
Franciosi - de Giovanni. Qualcuno lo conosce? Non mi è chiara l'implicazione
da
$[G_{i + 1} / {Z(G)}, G / {Z(G)}] \subseteq G_i / {Z(G)}$
a
$[G_{i + 1}, G] \subseteq G_i$.
Mi sembra che tale passaggio presupponga il seguente:
${[G_{i + 1}, G]} / {Z(G)} = [G_{i + 1} / {Z(G)}, G / {Z(G)}]$,
che però richiede la condizione
$[G_{i + 1}, G] \supseteq Z(G)$
che non riesco a dimostrare. Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille - Rodolfo
finito G è nilpotente, e sto studiando dal testo `Elementi di Algebra' di
Franciosi - de Giovanni. Qualcuno lo conosce? Non mi è chiara l'implicazione
da
$[G_{i + 1} / {Z(G)}, G / {Z(G)}] \subseteq G_i / {Z(G)}$
a
$[G_{i + 1}, G] \subseteq G_i$.
Mi sembra che tale passaggio presupponga il seguente:
${[G_{i + 1}, G]} / {Z(G)} = [G_{i + 1} / {Z(G)}, G / {Z(G)}]$,
che però richiede la condizione
$[G_{i + 1}, G] \supseteq Z(G)$
che non riesco a dimostrare. Qualcuno può aiutarmi?
Grazie mille - Rodolfo
Risposte
No, in generale se [tex]N \unlhd G[/tex] e [tex]N \leq H \leq G[/tex] allora [tex][G/N,H/N] = [G,H]N/N[/tex].
L'errore che commettevo, probabilmente, era proprio quello di
condizionare
$[G_{i + 1}, G] \subseteq G_i$
a
${[G_{i + 1}, G]} / {Z(G)} = [G_{i + 1} / {Z(G)}, G / {Z(G)}]$.
Invece la dimostrazione che da
$[G_{i + 1} / {Z(G)}, G / {Z(G)}] \subseteq G_i / {Z(G)}$
conduce a
$[G_{i + 1}, G] \subseteq G_i$
va fatta direttamente e mi pare possa essere la seguente.
Per definizione $[G_{i + 1} / {Z(G)}, G / {Z(G)}]$ è il
sottogruppo di $G / {Z(G)}$ generato dalla parte $Y = \{[h_{i +
1} Z(G), x Z(G)] | h_{i + 1} \in G_{i + 1}, x \in G\}$ di $G /
{Z(G)}$, che coincide con l'insieme $\{[h_{i + 1}, x] Z(G) | h_{i
+ 1} \in G_{i + 1}, x \in G\}$. Allora, evidentemente $Y
\subseteq [G_{i + 1} / {Z(G)}, G / {Z(G)}] \subseteq G_i /
{Z(G)}$ sicch\'e, per ogni $h_{i + 1} \in G_{i + 1}$ e per ogni
$x \in G$, è $[h_{i + 1}, x] Z(G) \in G_i / {Z(G)} = \{x_i Z(G) |
x_i \in G_i\}$ ergo esiste $x_i \in G_i$ tale che $\{[h_{i + 1},
x] z | z \in Z(G)\} = [h_{i + 1}, x] Z(G) = x_i Z(G) = \{x_i z' |
z' \in Z(G)\}$ ergo, per ogni $z \in Z(G)$, esiste $z'\in Z(G)$
tale che $[h_{i + 1}, x] z = x_i z'$ ergo, essendo $Z(G)
\subseteq G_i$, $[h_{i + 1}, x] = x_i z' z^{- 1} \in G_i$.
Quindi è $X = \{[h_{i + 1}, x] | h_{i + 1} \in G_{i + 1}, x \in
G\} \subseteq G_i$ e quindi $[G_{i + 1}, G] = \langle X\rangle
\subseteq G_i$.
Rodolfo
condizionare
$[G_{i + 1}, G] \subseteq G_i$
a
${[G_{i + 1}, G]} / {Z(G)} = [G_{i + 1} / {Z(G)}, G / {Z(G)}]$.
Invece la dimostrazione che da
$[G_{i + 1} / {Z(G)}, G / {Z(G)}] \subseteq G_i / {Z(G)}$
conduce a
$[G_{i + 1}, G] \subseteq G_i$
va fatta direttamente e mi pare possa essere la seguente.
Per definizione $[G_{i + 1} / {Z(G)}, G / {Z(G)}]$ è il
sottogruppo di $G / {Z(G)}$ generato dalla parte $Y = \{[h_{i +
1} Z(G), x Z(G)] | h_{i + 1} \in G_{i + 1}, x \in G\}$ di $G /
{Z(G)}$, che coincide con l'insieme $\{[h_{i + 1}, x] Z(G) | h_{i
+ 1} \in G_{i + 1}, x \in G\}$. Allora, evidentemente $Y
\subseteq [G_{i + 1} / {Z(G)}, G / {Z(G)}] \subseteq G_i /
{Z(G)}$ sicch\'e, per ogni $h_{i + 1} \in G_{i + 1}$ e per ogni
$x \in G$, è $[h_{i + 1}, x] Z(G) \in G_i / {Z(G)} = \{x_i Z(G) |
x_i \in G_i\}$ ergo esiste $x_i \in G_i$ tale che $\{[h_{i + 1},
x] z | z \in Z(G)\} = [h_{i + 1}, x] Z(G) = x_i Z(G) = \{x_i z' |
z' \in Z(G)\}$ ergo, per ogni $z \in Z(G)$, esiste $z'\in Z(G)$
tale che $[h_{i + 1}, x] z = x_i z'$ ergo, essendo $Z(G)
\subseteq G_i$, $[h_{i + 1}, x] = x_i z' z^{- 1} \in G_i$.
Quindi è $X = \{[h_{i + 1}, x] | h_{i + 1} \in G_{i + 1}, x \in
G\} \subseteq G_i$ e quindi $[G_{i + 1}, G] = \langle X\rangle
\subseteq G_i$.
Rodolfo
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