[RISOLTO] Esercizio gruppo-sottogruppo, ordini gruppo G/H
Spero che questa sia l'ultima volta che debba chiedere il vostro aiuto. Ma sono sbattuto su un'altro muro! Vi pongo l'esercizio:
Sia $G$ un gruppo abeliano $H={g^4 | g in G} (={x in G | esiste g in G con x = g^4})$ si dimostri che $H$ è un sottogruppo di $G$.
Calcolare i possibili ordini degli elementi del gruppo quoziente $G$$/$$H$.
Dare un esempio di un gruppo non abeliano nel quale l'insieme degli elementi definito sopra non è un sottogruppo.
Soluzione
Inizio col dimostrare che $H$ è un sottogruppo
$1 in G$ $1^4=1 in H$ (ammette elemento neutro)
se $ g in G$ anche $g^-1 in G$ quindi $g^4 in H$ e $(g^-1)^4 in H$ $g^4*g^-4=1$ (ammette inverso)
Qua ho già dei problemi se $h, h_1 in H$ devo dimostrare che anche $h*h_1 in H$ cioè $g^4*g_1^4=(g*g_1)^4 in H$ ma come posso dimostrare che $g*g_1 in G$??
Se $G$ è abeliano allora $H$ è normale e quindi $simH = Hsim = g*g_1^-1 in H = g_1^-1*g in H$ ma non saprei calcolare gli ordini, proprio non saprei da dove partire,
Anche nell'ultimo punto non saprei da dove iniziare:(
come al solito grazie in anticipo
Sia $G$ un gruppo abeliano $H={g^4 | g in G} (={x in G | esiste g in G con x = g^4})$ si dimostri che $H$ è un sottogruppo di $G$.
Calcolare i possibili ordini degli elementi del gruppo quoziente $G$$/$$H$.
Dare un esempio di un gruppo non abeliano nel quale l'insieme degli elementi definito sopra non è un sottogruppo.
Soluzione
Inizio col dimostrare che $H$ è un sottogruppo
$1 in G$ $1^4=1 in H$ (ammette elemento neutro)
se $ g in G$ anche $g^-1 in G$ quindi $g^4 in H$ e $(g^-1)^4 in H$ $g^4*g^-4=1$ (ammette inverso)
Qua ho già dei problemi se $h, h_1 in H$ devo dimostrare che anche $h*h_1 in H$ cioè $g^4*g_1^4=(g*g_1)^4 in H$ ma come posso dimostrare che $g*g_1 in G$??
Se $G$ è abeliano allora $H$ è normale e quindi $simH = Hsim = g*g_1^-1 in H = g_1^-1*g in H$ ma non saprei calcolare gli ordini, proprio non saprei da dove partire,
Anche nell'ultimo punto non saprei da dove iniziare:(
come al solito grazie in anticipo
Risposte
Correggo il procedimento per il calcolo dell'inverso, è: [tex]$\forall g\in G;\,n\in\matbb{N},\,(g^{-1})^n=g^{-n}$[/tex] con [tex]$G$[/tex] gruppo generico!
Sulla chiusura di [tex]$H$[/tex] rispetto all'operazione interna: [tex]$\forall h;\eta\in H,\,\exists g;\gamma\in G\mid g^4=h;\,\gamma^4=\eta$[/tex] per definizione di gruppo [tex]$g\gamma\in G$[/tex] ed essendo [tex]$G$[/tex] un gruppo abeliano: [tex]$h\eta=g^4\gamma^4=(g\gamma)^4\in H$[/tex]!
Hai così il primo asserto!
Sulla chiusura di [tex]$H$[/tex] rispetto all'operazione interna: [tex]$\forall h;\eta\in H,\,\exists g;\gamma\in G\mid g^4=h;\,\gamma^4=\eta$[/tex] per definizione di gruppo [tex]$g\gamma\in G$[/tex] ed essendo [tex]$G$[/tex] un gruppo abeliano: [tex]$h\eta=g^4\gamma^4=(g\gamma)^4\in H$[/tex]!
Hai così il primo asserto!
"j18eos":
per definizione di gruppo [tex]$g\gamma\in G$[/tex] ed essendo [tex]$G$[/tex] un gruppo abeliano: [tex]$h\eta=g^4\gamma^4=(g\gamma)^4\in H$[/tex]!
Hai così il primo asserto!
La definizione di gruppo dice che in $G$ vale la proprietà associativa, esiste l'elemento neutro, e che per ogni $g in G$ segue $g^-1 in G$ ma NON dice che $g*g_1 in G$
"beck_s":Si' che lo dice.
La definizione di gruppo dice che in $G$ vale la proprietà associativa, esiste l'elemento neutro, e che per ogni $g in G$ segue $g^-1 in G$ ma NON dice che $g*g_1 in G$
Un gruppo e' un insieme G con un'operazione binaria interna, cioe' una funzione [tex]G \times G \to G[/tex] che manda una coppia [tex](a,b)[/tex] in un elemento di G che chiamiamo [tex]a \cdot b[/tex], tale che (ecc.).
"Martino":Si' che lo dice.
[quote="beck_s"]La definizione di gruppo dice che in $G$ vale la proprietà associativa, esiste l'elemento neutro, e che per ogni $g in G$ segue $g^-1 in G$ ma NON dice che $g*g_1 in G$
Un gruppo e' un insieme G con un'operazione binaria interna, cioe' una funzione [tex]G \times G \to G[/tex] che manda una coppia [tex](a,b)[/tex] in un elemento di G che chiamiamo [tex]a \cdot b[/tex], tale che (ecc.).[/quote]
Questo fa luce su molti esercizi!!
grazie ad entrambi
Per gli altri punti del problema avete qualche idea?
Non avevo letto la richiesta dell'esempio! Se non avessi sbagliato i conti andrebbe bene [tex]$Sym4$[/tex].
Sul resto buio totale!
Sul resto buio totale!
Ogni elemento di [tex]G/H[/tex] elevato alla quarta fa 1, quindi ha ordine 1, 2 oppure 4.
"j18eos":[tex]S_4[/tex] e' un buon controesempio. Infatti in questo caso l'insieme delle quarte potenze e' uguale all'insieme dei 3-cicli piu' l'identita', e non si tratta di un sottogruppo.
Se non avessi sbagliato i conti andrebbe bene [tex]$Sym4$[/tex].
Ripensandoci andrebbe bene anche [tex]$Alt4$[/tex]!
"Martino":
Ogni elemento di [tex]G/H[/tex] elevato alla quarta fa 1, quindi ha ordine 1, 2 oppure 4.
Vediamo se ho capito un elemento di [tex]G/H[/tex] è un elemento tale che da $g in G$ $g*x^-1 in H$ giusto? ma perché $g^4$ fa $1$?
Ho all'incirca capito gli ordini degli elementi con i gruppi quoziente di [tex]{Z}[/tex] ma qui proprio non riesco a capire il ragionamento, perdonate la mia ignoranza.
Ciao e intanto grazie, adesso provo a ristudiarlo meglio vediamo se qualcosa prima o poi mi entra nella zucca!
"beck_s":L'elemento neutro di [tex]G/H[/tex] e' [tex]H[/tex]. L'operazione in [tex]G/H[/tex] e' definita cosi': [tex](Hx)(Hy) := H xy[/tex]. Ovviamente se [tex]x \in H[/tex] allora [tex]Hx=H[/tex].
Vediamo se ho capito un elemento di [tex]G/H[/tex] è un elemento tale che da $g in G$ $g*x^-1 in H$ giusto? ma perché $g^4$ fa $1$?
Nel tuo caso [tex](Hg)^4 = HgHgHgHg = Hg^4 = H[/tex], dato che per costruzione [tex]g^4 \in H[/tex].
GRAZIE MILLE!!! SIETE DEI GRANDI!!!non riuscivo a vedere $H$ come un elemento, grazie grazie. Spero che non debba chiedervi altro perchè significherebbe che non ho passato l'esame!! speriamo... ciao
Prego, di nulla! "GRANDE???" 
...e buon esame. 
"GRANDE???" ...e buon esame.
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