[RISOLTO] Esercizio gruppo quoziente
Il gruppo quoziente $Z$$/$$300Z$ ha elementi di ordine 24?
Allora l'ordine di un elemento $g$ è il minimo numero $n$ con $n in Z$ tale che $g^n=1$, correggetemi se sbaglio nel nostro caso $(g^n) -=_(mod 300) 1$, quindi se esiste $g$ tale che $g$ tale che $g^24 -=_(mod 300) 1$ cioè come posso dimostrarlo??
So che non esiste nessun sottogruppo di $Z$$/$$300Z$ di ordine 24, poiché $24$ non divide $300$. Ma per l'ordine dell' elemento come posso risolvere?
come al solito grazie in anticipo
Allora l'ordine di un elemento $g$ è il minimo numero $n$ con $n in Z$ tale che $g^n=1$, correggetemi se sbaglio nel nostro caso $(g^n) -=_(mod 300) 1$, quindi se esiste $g$ tale che $g$ tale che $g^24 -=_(mod 300) 1$ cioè come posso dimostrarlo??
So che non esiste nessun sottogruppo di $Z$$/$$300Z$ di ordine 24, poiché $24$ non divide $300$. Ma per l'ordine dell' elemento come posso risolvere?
come al solito grazie in anticipo
Risposte
Probabilmente hai un po' di confusione in testa dovuta alle notazioni moltiplicative e additive dei gruppi... quando si parla di [tex]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/tex] si sottointende che l'operazione da considerare sia la somma (in realtà questa è più di una convenzione, mi sapresti dire perché?). Quindi tu devi cercare non un [tex]g\in \mathbb{Z}/300\mathbb{Z}[/tex] tale che [tex]g^{24} \equiv 1 (\text{mod} 300)[/tex], ma un [tex]g \in \mathbb{Z}/300\mathbb{Z}[/tex] tale che [tex]24 g \equiv 0 (\text{mod} 300)[/tex].
Peraltro, la tua seconda osservazione conclude il discorso: infatti, se esistesse un elemento di ordine [tex]24[/tex], diciamo [tex]g[/tex], allora sappiamo dalla teoria che il sottogruppo [tex]\langle g \rangle[/tex] generato da [tex]g[/tex] avrebbe proprio ordine [tex]24[/tex], ma questo non è possibile!
Peraltro, la tua seconda osservazione conclude il discorso: infatti, se esistesse un elemento di ordine [tex]24[/tex], diciamo [tex]g[/tex], allora sappiamo dalla teoria che il sottogruppo [tex]\langle g \rangle[/tex] generato da [tex]g[/tex] avrebbe proprio ordine [tex]24[/tex], ma questo non è possibile!
"maurer":
Probabilmente hai un po' di confusione in testa dovuta alle notazioni moltiplicative e additive dei gruppi... quando si parla di [tex]\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}[/tex] si sottointende che l'operazione da considerare sia la somma (in realtà questa è più di una convenzione, mi sapresti dire perché?).
Ok, sì infatti anche io pesavo così perché ogni elemento di $\mathbb{Z}$ si può scrivere come somma di $ 1 $ o $-1$ che sono generatori, poi ho cercato sul web e ho trovato questo ...
Okay!! Grazie mille,
l'esame si avvicina e devo ripassare gli ultimi dettagli
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