Riguardo le permutazioni
Non riesco proprio a farmi entrare in testa le permutazioni,si saranno facili ma tramite la sola teoria del mio libro(gli esercizi sono quasi nulli) non riesco a comprenderle come dovrei.
Allora ho le seguenti permutazioni:
$alpha=((1,2,3,4,5,6),(3,6,1,2,5,4))$
$beta=((1,2,3,4,5,6),(5,2,1,4,3,6))$
se dovessi esprimere le due permutazioni in cicli potrei esprimerle così:
$alpha=(13)(246)(5)$
$beta=(135)(2)(4)(6)$
è corretto?
se no come andavano espresse?
Ps. forse quelli che vengono mandati in sè stessi non dovrei nemmeno scriverli.
Allora ho le seguenti permutazioni:
$alpha=((1,2,3,4,5,6),(3,6,1,2,5,4))$
$beta=((1,2,3,4,5,6),(5,2,1,4,3,6))$
se dovessi esprimere le due permutazioni in cicli potrei esprimerle così:
$alpha=(13)(246)(5)$
$beta=(135)(2)(4)(6)$
è corretto?
se no come andavano espresse?
Ps. forse quelli che vengono mandati in sè stessi non dovrei nemmeno scriverli.
Risposte
No, l'ordine è importante. Non basta identificare gli elementi del ciclo ma anche come "ruotano". Quando farai un po' di allenamento i cicli ti saranno più facili da leggere delle tabelle.
La permutazione $(246)$ non è la permutazione $(264)$ a dire il vero vale $(246)^2 = (264)$. Il primo elemento può essere scelto come preferisci e spesso si sceglie il più piccolo. D'altra parte $(246) = (462) = (624)$ ma essi sono diversi da $(264)$.
La prima permutazione è $\alpha = (13)(246)$. I punti fissi non sono obbigatori da mettere anche se sono necessari per alcuni metodi di calcolo del segno (li puoi considerare comunque senza scriverli). D'altra parte so che quella permutazione è dispari perché è prodotto di una parmutazione pari (il 3-ciclo) e di una dispari (lo scambio).
Per la stessa ragione $\beta = (153) \ne (135) = \beta^2$
La permutazione $(246)$ non è la permutazione $(264)$ a dire il vero vale $(246)^2 = (264)$. Il primo elemento può essere scelto come preferisci e spesso si sceglie il più piccolo. D'altra parte $(246) = (462) = (624)$ ma essi sono diversi da $(264)$.
La prima permutazione è $\alpha = (13)(246)$. I punti fissi non sono obbigatori da mettere anche se sono necessari per alcuni metodi di calcolo del segno (li puoi considerare comunque senza scriverli). D'altra parte so che quella permutazione è dispari perché è prodotto di una parmutazione pari (il 3-ciclo) e di una dispari (lo scambio).
Per la stessa ragione $\beta = (153) \ne (135) = \beta^2$
forse ho le idee un po' più chiare.
Ho questo esercizio,correggimi/correggetemi se sbaglio:
io ho ragionato così:
posso riscrivere $tau$ come:
$tau=(125437)(69)(8)=(125437)(69)=(17)(13)(14)(15)(12)(69)$
(osservazione ora se dovessi trovare il suo segno dovrei anche considerare il ciclo $(8)$,o lui dovrei tralasciarlo?)
riscrivo $gamma$ come:
$gamma=(143)(26798)(5)=(13)(14)(28)(29)(27)(26)$
(stessa domanda di prima anche qui per il segno dovrei considerare anche $(5)$ cioè essendo formata da un numero dispari di cicli(trasposizioni) il suo segno è $-1$,mentre se non considero $(5)$ essendo pari il suo segno è $1$)
trovo $tau @ gamma$
$tau @ gamma=((1,2,3,4,5,6,7,8,9),(3,9,2,7,4,1,6,5,8))$
$tau @ gamma=(132985476)=(16)(17)(14)(15)(18)(19)(12)(13)$
il suo ordine è $9$ poichè il suo ciclo ha lunghezza $9$
(se avessi avuto prodotto fra due cicli es:uno di lunghezza 2 e uno di lunghezza 3 quanto era il suo ordine?)
quindi essendo composta da un numero pari di cicli(trasposizioni),il suo segno è $+1$
trovo $gamma @ tau$
$gamma @ tau=((1,2,3,4,5,6,7,8,9),(6,5,9,1,3,8,4,2,7))$
$gamma @ tau=(168253974)=(14)(17)(19)(13)(15)(12)(18)(16)$
il suo ordine è $9$ poichè il suo ciclo ha lunghezza $9$
il suo segno è $+1$ poichè prodotto di un numero pari di cicli(trasposizioni)
esercizio e procedimento sono corretti?
Ps. dire trasposizioni o cicli (come ho fatto sopra) è quivalente o è errato?
Ho questo esercizio,correggimi/correggetemi se sbaglio:
io ho ragionato così:
posso riscrivere $tau$ come:
$tau=(125437)(69)(8)=(125437)(69)=(17)(13)(14)(15)(12)(69)$
(osservazione ora se dovessi trovare il suo segno dovrei anche considerare il ciclo $(8)$,o lui dovrei tralasciarlo?)
riscrivo $gamma$ come:
$gamma=(143)(26798)(5)=(13)(14)(28)(29)(27)(26)$
(stessa domanda di prima anche qui per il segno dovrei considerare anche $(5)$ cioè essendo formata da un numero dispari di cicli(trasposizioni) il suo segno è $-1$,mentre se non considero $(5)$ essendo pari il suo segno è $1$)
trovo $tau @ gamma$
$tau @ gamma=((1,2,3,4,5,6,7,8,9),(3,9,2,7,4,1,6,5,8))$
$tau @ gamma=(132985476)=(16)(17)(14)(15)(18)(19)(12)(13)$
il suo ordine è $9$ poichè il suo ciclo ha lunghezza $9$
(se avessi avuto prodotto fra due cicli es:uno di lunghezza 2 e uno di lunghezza 3 quanto era il suo ordine?)
quindi essendo composta da un numero pari di cicli(trasposizioni),il suo segno è $+1$
trovo $gamma @ tau$
$gamma @ tau=((1,2,3,4,5,6,7,8,9),(6,5,9,1,3,8,4,2,7))$
$gamma @ tau=(168253974)=(14)(17)(19)(13)(15)(12)(18)(16)$
il suo ordine è $9$ poichè il suo ciclo ha lunghezza $9$
il suo segno è $+1$ poichè prodotto di un numero pari di cicli(trasposizioni)
esercizio e procedimento sono corretti?
Ps. dire trasposizioni o cicli (come ho fatto sopra) è quivalente o è errato?
Una trasposizione è un ciclo di ordine 2. Quindi non sono equivalenti. L'esercizio è abbastanza corretto ma penso di averti un po' confuso sul calcolo del segno della permutazione.
Ci sono vari modi in cui si può definire la funzione segno in [tex]S_n[/tex]. Uno di questi è quello di definirla come [tex](-1)^{n-t}[/tex] dove [tex]n[/tex] è già definita e [tex]t[/tex] è il numero di cicli disgiunti compresi gli elementi fissi. Esistono altri modi ma questi può essere usato più facilmente di altri.
Un altro modo consiste invece nel ricordare che un ciclo di ordine dispari è una permutazione pari mentre uno di ordine pari è una permutazione dispari. E dopo di che usare la regola dei segni. Io generalmente uso questo.
Non ha comunque bisogno di calcolare i due prodotti usando le tabelle ma puoi usare i cicli. E spesso ridurre la permutazione in trasposizioni non è necessario.
[tex]\tau = (125437)(69)(8) = (125437)(69)[/tex]
[tex]t=3[/tex] oppure usando il fatto che [tex](125437)[/tex] ha ordine [tex]6[/tex] e quindi è una permutazione dispari e quindi [tex]--=+[/tex]. Con entrambi i metodi viene che [tex]\tau[/tex] è pari.
[tex]\gamma = (143)(26798)(5) = (143)(26798)[/tex]
[tex]t=3[/tex] oppure [tex](143)[/tex] è pari e [tex](26798)[/tex] è pari e quindi [tex]++=+[/tex]. Con entrambi i metodi viene che [tex]\gamma[/tex] è pari.
Quindi entrambi i prodotti sono pari perché prodotto di permutazioni pari. Per comodità ometto il $\circ$ (cosa comunque molto comune). I calcoli che faccio sono per la maggiorparte non necessari (sono capace a moltiplicare molti cicli contemporaneamente ma per mostrarti un po' di giochi con i cicli faccio un po' di passaggi in più).
[tex]\tau\gamma = (125437)(69)(143)(26798) = (125437)(143)(69)(67982) = (125437)(143)(67)(982) =[/tex]
[tex]= (132547)(67)(298) = (1325476)(298) = (132985476)[/tex]
Proprietà usate:
1) cicli disgiunti commutano
2) un ciclo rimane uguale se cambia il primo elemento purché l'ordine con cui si gira rimane costante
3) [tex](ab)(ac\dots dbe\dots f) = (ac\dots d)(be\dots f)[/tex]
Prova a dimostrare questi [tex]3[/tex]. Ovviamente essendo un ciclo di ordine [tex]9[/tex] è una permutazione pari (come avevamo detto) e [tex]t=1[/tex].
Ora facciamo l'altra con meno passaggi...
[tex]\gamma\tau = (143)(26798)(125437)(69)[/tex]
Pariamo da [tex]1\mapsto 2 \mapsto 6[/tex] lo fai scorrendo i cicli e trovi [tex](12[/tex] dopo si che prosegui e trovi [tex](26[/tex] e poi fino alla fine non riincontri il [tex]6[/tex] quindi hai [tex](16[/tex]. È come con la tabella ma semplicemente scorri da destra a sinistra.
A questo punto riparti con [tex](69)[/tex]....[tex]98)[/tex] e quindi [tex](168[/tex].
E così via... [tex]\gamma\tau = (143)(26798)(125437)(69) = (168253974)[/tex].
Ovviamente è pari anche anche lui. Inoltre ti farei notare che i due prodotti hanno lo stesso ordine e segno.
Ci sono vari modi in cui si può definire la funzione segno in [tex]S_n[/tex]. Uno di questi è quello di definirla come [tex](-1)^{n-t}[/tex] dove [tex]n[/tex] è già definita e [tex]t[/tex] è il numero di cicli disgiunti compresi gli elementi fissi. Esistono altri modi ma questi può essere usato più facilmente di altri.
Un altro modo consiste invece nel ricordare che un ciclo di ordine dispari è una permutazione pari mentre uno di ordine pari è una permutazione dispari. E dopo di che usare la regola dei segni. Io generalmente uso questo.
Non ha comunque bisogno di calcolare i due prodotti usando le tabelle ma puoi usare i cicli. E spesso ridurre la permutazione in trasposizioni non è necessario.
[tex]\tau = (125437)(69)(8) = (125437)(69)[/tex]
[tex]t=3[/tex] oppure usando il fatto che [tex](125437)[/tex] ha ordine [tex]6[/tex] e quindi è una permutazione dispari e quindi [tex]--=+[/tex]. Con entrambi i metodi viene che [tex]\tau[/tex] è pari.
[tex]\gamma = (143)(26798)(5) = (143)(26798)[/tex]
[tex]t=3[/tex] oppure [tex](143)[/tex] è pari e [tex](26798)[/tex] è pari e quindi [tex]++=+[/tex]. Con entrambi i metodi viene che [tex]\gamma[/tex] è pari.
Quindi entrambi i prodotti sono pari perché prodotto di permutazioni pari. Per comodità ometto il $\circ$ (cosa comunque molto comune). I calcoli che faccio sono per la maggiorparte non necessari (sono capace a moltiplicare molti cicli contemporaneamente ma per mostrarti un po' di giochi con i cicli faccio un po' di passaggi in più).
[tex]\tau\gamma = (125437)(69)(143)(26798) = (125437)(143)(69)(67982) = (125437)(143)(67)(982) =[/tex]
[tex]= (132547)(67)(298) = (1325476)(298) = (132985476)[/tex]
Proprietà usate:
1) cicli disgiunti commutano
2) un ciclo rimane uguale se cambia il primo elemento purché l'ordine con cui si gira rimane costante
3) [tex](ab)(ac\dots dbe\dots f) = (ac\dots d)(be\dots f)[/tex]
Prova a dimostrare questi [tex]3[/tex]. Ovviamente essendo un ciclo di ordine [tex]9[/tex] è una permutazione pari (come avevamo detto) e [tex]t=1[/tex].
Ora facciamo l'altra con meno passaggi...
[tex]\gamma\tau = (143)(26798)(125437)(69)[/tex]
Pariamo da [tex]1\mapsto 2 \mapsto 6[/tex] lo fai scorrendo i cicli e trovi [tex](12[/tex] dopo si che prosegui e trovi [tex](26[/tex] e poi fino alla fine non riincontri il [tex]6[/tex] quindi hai [tex](16[/tex]. È come con la tabella ma semplicemente scorri da destra a sinistra.
A questo punto riparti con [tex](69)[/tex]....[tex]98)[/tex] e quindi [tex](168[/tex].
E così via... [tex]\gamma\tau = (143)(26798)(125437)(69) = (168253974)[/tex].
Ovviamente è pari anche anche lui. Inoltre ti farei notare che i due prodotti hanno lo stesso ordine e segno.
In altre parole si potrebbe calcolare il segno di una permutazione anche pensando che ogni ciclo di essa di lunghezza $k$ ha segno $(-1)^(k-1)$,quindi facendo la moltiplicazione dei segni fra quelli dei singoli cicli.
Ti ringrazio!!!
Ps. quasi dimenticavo:dire ad esempio data una permutazione $s$,calcolare $s^2$ sarebbe come dire trova la permutazione $s @ s $
e anche $s^4 =s^2 @ s^2$ ,visto che si comportano come le applicazioni,quindi come composizione di applicazioni,vero?
Ti ringrazio!!!
Ps. quasi dimenticavo:dire ad esempio data una permutazione $s$,calcolare $s^2$ sarebbe come dire trova la permutazione $s @ s $
e anche $s^4 =s^2 @ s^2$ ,visto che si comportano come le applicazioni,quindi come composizione di applicazioni,vero?
"zipangulu":
In altre parole si potrebbe calcolare il segno di una permutazione anche pensando che ogni ciclo di essa di lunghezza $k$ ha segno $(-1)^(k-1)$,quindi facendo la moltiplicazione dei segni fra quelli dei singoli cicli.
Ti ringrazio!!!
Ps. quasi dimenticavo:dire ad esempio data una permutazione $s$,calcolare $s^2$ sarebbe come dire trova la permutazione $s @ s $
e anche $s^4 =s^2 @ s^2$ ,visto che si comportano come le applicazioni,quindi come composizione di applicazioni,vero?
Per la prima cosa, si esatto.
Per la seconda direi che è decisamente più facile. I cicli disgiunti commutano tra di loro. Quindi trovare il quadrato del loro prodotto equivale a calcolare il prodotto dei loro quadrati. Trovare il quadrato di un ciclo è semplice: basta partire dal primo e seguire il ciclo saltandone uno ogni volta. E ricavi quindi immediatamente anche la suddivisione in cicli disgiunti del quadrato. Dopo di che il quadrato di uno scambio è l'identità. Quindi non dimenticarti dei vari ordini.
es.:
[tex](123456789)^2 = (135792468)[/tex]
[tex](123456)^2 = (135)(246)[/tex]
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