Riduciblità dei polinomi
Salve a tutti. Avrei un problema con la verifica di riducibilità dei polinomi.
Se sono in un generico campo $ZZ$[x] posso verificare attraverso il criterio di einstein l'irriducibilità di un polinomio p(x) scegliendo un divisore del termine noto(...).
Ma se mi trovo in un campo $ZZ$p [x] e il divisore che cerco non è contemplato dal mio campo il polinomio p(x) è irriducibile o non posso applicare questo criterio?
Es. p(x)=$ x^5 + 5x + 5 $ in $ ZZ $3 [x]. Potrei scegliere per il criterio di einstein p=5 e arrivare alla conclusione che il polinomio è irriducibile, ma 5 non è contemplato da $ZZ$3.
Se sono in un generico campo $ZZ$[x] posso verificare attraverso il criterio di einstein l'irriducibilità di un polinomio p(x) scegliendo un divisore del termine noto(...).
Ma se mi trovo in un campo $ZZ$p [x] e il divisore che cerco non è contemplato dal mio campo il polinomio p(x) è irriducibile o non posso applicare questo criterio?
Es. p(x)=$ x^5 + 5x + 5 $ in $ ZZ $3 [x]. Potrei scegliere per il criterio di einstein p=5 e arrivare alla conclusione che il polinomio è irriducibile, ma 5 non è contemplato da $ZZ$3.
Risposte
Basta dimostrare che $p(X)$ non ha fattori di grado $\le 2$.
In altre parole, basta dimostrare che $p(X)$ non ha zeri nel campo $F_9$.
Gli elementi $a\in F_9$ sono caratterizzati dalla relazione $a^9=a$,
ovvero $a=0$ oppure $a^4=\pm 1$.
Chiaramente $a=0$ non e’ uno zero di $p(X)$.
Se $a^4=1$ e $p(a)=0$, allora $0=a^5+5a+5=a+2a+2=2$ assurdo.
Se invece $a^4=-1$ e $p(a)=0$, allora $0=a^5+5a+5=-a+2a+2$ e
quindi $a=1$. Ma $a=1$ non soddisfa $a^4=-1$.
Quindi $p(X)$ e’ irriducibile in $F_3[X]$.
In altre parole, basta dimostrare che $p(X)$ non ha zeri nel campo $F_9$.
Gli elementi $a\in F_9$ sono caratterizzati dalla relazione $a^9=a$,
ovvero $a=0$ oppure $a^4=\pm 1$.
Chiaramente $a=0$ non e’ uno zero di $p(X)$.
Se $a^4=1$ e $p(a)=0$, allora $0=a^5+5a+5=a+2a+2=2$ assurdo.
Se invece $a^4=-1$ e $p(a)=0$, allora $0=a^5+5a+5=-a+2a+2$ e
quindi $a=1$. Ma $a=1$ non soddisfa $a^4=-1$.
Quindi $p(X)$ e’ irriducibile in $F_3[X]$.
Bisogna precisare un paio di cose secondo me.
Prima di tutto $\mathbb{Z}[x]$ non è un campo. $\ZZ$ è un dominio a fattorizzazione unica; per questo motivo su $\ZZ[x]$ si può usare il criterio di Eisenstein.
Su $ZZ_3[x]$ il criterio di Eisenstein non si può usare: tuttavia il motivo non è che $5$ non è un elemento di $ZZ_3$. Infatti, $5$, inteso come classe di resto, ha tutto il diritto di vivere in $ZZ_3$, ed è lo stesso elemento, per esempio, della classe del $2$, o della classe del $-1$, o di qualunque altro numero congruo a $2$ $mod3$. Il problema è che $2$ non è un primo di $ZZ_3$ in quanto è invertibile.
Perciò bisogna pensare a quali sono i possibili modi di fattorizzare il tuo polinomio.
Nel tuo caso, in quanti modi si può fattorizzare $p=x^5+5x+5 = x^5 -x- 1$? Puoi avere un fattore di primo grado e uno di quarto grado oppure uno di secondo grado e uno di terzo grado.
A questo punto seguirei il ragionamento di Stickelberger, anche se io avrei forse di getto impostato il sistema imponendo la fattorizzazione e osservando in qualche modo che non ci sono soluzioni. La soluzione di Stickelberger è certamente più facile.
Prima di tutto $\mathbb{Z}[x]$ non è un campo. $\ZZ$ è un dominio a fattorizzazione unica; per questo motivo su $\ZZ[x]$ si può usare il criterio di Eisenstein.
Su $ZZ_3[x]$ il criterio di Eisenstein non si può usare: tuttavia il motivo non è che $5$ non è un elemento di $ZZ_3$. Infatti, $5$, inteso come classe di resto, ha tutto il diritto di vivere in $ZZ_3$, ed è lo stesso elemento, per esempio, della classe del $2$, o della classe del $-1$, o di qualunque altro numero congruo a $2$ $mod3$. Il problema è che $2$ non è un primo di $ZZ_3$ in quanto è invertibile.
Perciò bisogna pensare a quali sono i possibili modi di fattorizzare il tuo polinomio.
Nel tuo caso, in quanti modi si può fattorizzare $p=x^5+5x+5 = x^5 -x- 1$? Puoi avere un fattore di primo grado e uno di quarto grado oppure uno di secondo grado e uno di terzo grado.
A questo punto seguirei il ragionamento di Stickelberger, anche se io avrei forse di getto impostato il sistema imponendo la fattorizzazione e osservando in qualche modo che non ci sono soluzioni. La soluzione di Stickelberger è certamente più facile.
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