Riducibilità polinomio
ciao a tutti, se potreste aiutarmi in questo esercizio:
Si consideri il polinomio p(x) = $x^5 + 12$ appartente a Z[X]. Stabilire l' irriducibilità di p(x) visto come elemento di F[X] ove F = Q, C, e Z/5.
grazie!
Si consideri il polinomio p(x) = $x^5 + 12$ appartente a Z[X]. Stabilire l' irriducibilità di p(x) visto come elemento di F[X] ove F = Q, C, e Z/5.
grazie!
Risposte
Benvenuto nel forum. Da regolamento, dovresti proporre qualche tua idea. Hai provato ad usare il criterio di Eisenstein?
In [tex]\mathbb{Q}[x][/tex] hai che [tex]x^5+12[/tex] non è riducibile, poichè non esistono razionali [tex]q[/tex] tali che [tex]p(q)=0[/tex] (per esempio con Eisenstein).
In [tex]\mathbb{C}[x][/tex] hai che, essendo un campo algebricamente chiuso, [tex]x^5+12[/tex] è riducibile ed è completamente riducibile, ovvero esistono 5 polinomi di grado uno che lo dividono, ovvero i polinomi del tipo [tex]x-\alpha[/tex] dove [tex]\alpha \in \mathbb{C}[/tex] è una delle cinque radici di [tex]12[/tex].
In [tex]\mathbb{Z}_5[x][/tex] hai che [tex]x^5+12[/tex] è riducibile, osservando che [tex]\mathbb{Z}_5 = \{0,1,2,3,4\}[/tex] e che [tex]2 \in \mathbb{Z}_5[/tex] è la prima soluzione, da qui si procede poi a ridurrei l polinomio:
[tex]x^5+12=(x-2)(x^4+2x^3+4x^2+3x+1)[/tex]
ma qui osservo che la radice del secondo polinomio è ancora divisibile per [tex]2[/tex]... a naso, e con il triangolo di Tartaglia ben presente, ho che:
[tex]x^5+12 \equiv x^5+2 \equiv (x-2)^5 (mod5)[/tex]
In [tex]\mathbb{C}[x][/tex] hai che, essendo un campo algebricamente chiuso, [tex]x^5+12[/tex] è riducibile ed è completamente riducibile, ovvero esistono 5 polinomi di grado uno che lo dividono, ovvero i polinomi del tipo [tex]x-\alpha[/tex] dove [tex]\alpha \in \mathbb{C}[/tex] è una delle cinque radici di [tex]12[/tex].
In [tex]\mathbb{Z}_5[x][/tex] hai che [tex]x^5+12[/tex] è riducibile, osservando che [tex]\mathbb{Z}_5 = \{0,1,2,3,4\}[/tex] e che [tex]2 \in \mathbb{Z}_5[/tex] è la prima soluzione, da qui si procede poi a ridurrei l polinomio:
[tex]x^5+12=(x-2)(x^4+2x^3+4x^2+3x+1)[/tex]
ma qui osservo che la radice del secondo polinomio è ancora divisibile per [tex]2[/tex]... a naso, e con il triangolo di Tartaglia ben presente, ho che:
[tex]x^5+12 \equiv x^5+2 \equiv (x-2)^5 (mod5)[/tex]
Grazie per la risposta Lord K,
dato che Martino mi aveva chiesto di scrivere come avevo pensato di risolverlo lo faccio ora:
$x^5 + 12$ in $Q[x]$ avevo provato a vedere tutte le possibili radici ossia $+1,-1,+2,-2,+3,-3,+4,-4,+6,-6,12,-12$ e effettivamente, avevo notato che nessuno di questi valori se sostituito al polinomio, dava zero. Però mi sembrava strana la cosa( tema di esame = tranello
)...
In $z/5 x^5+12 = X^5 + 2$
Ora qui avevo provato a sostituire x con tutti gli elementi di Z/5 cioè 0,1,2,3,4 nel seguente modo
[0]^5 + 2 = [2]mod 5
[1]^5 + 2 = [3]mod5
[2]^5 + 2 = [34]mod5 = [4]mod 5
[3]^5 + 2 = [245] mod 5 = [0]mod 5
[4]^5 + 2 = [1026] mod 5 = [1] mod 5
Poiche l' unico numero che mi dava [0]mod5 era 3 io pensavo che 3 fosse una radice e dividendo x^5 con x-3 il quoziente mi risultatava x^4 + x^3 + 3x^2 + 9x + 27, con il resto di 93. Qui mi ero bloccato, non sapevo più andare avanti. Mi sembrava molto strano il risultato, anche se a lezioni li abbiamo sempre fatti così ( cioè sostituendo ogni elemento della classe Z/p al polinomio)
Nel procedimento di lord k non capisco come ha fatto a sapere che 2 è una radice.
In C, dato che è di 5 grado sapevo che erano irriducibili solo i polinomi di 1 grado, quindi dato che questo è di 5 sapevo gia che era riducibile, ma non ho capito e, non ho capito tuttora, come si scompone.
Grazie!
dato che Martino mi aveva chiesto di scrivere come avevo pensato di risolverlo lo faccio ora:
$x^5 + 12$ in $Q[x]$ avevo provato a vedere tutte le possibili radici ossia $+1,-1,+2,-2,+3,-3,+4,-4,+6,-6,12,-12$ e effettivamente, avevo notato che nessuno di questi valori se sostituito al polinomio, dava zero. Però mi sembrava strana la cosa( tema di esame = tranello
)...In $z/5 x^5+12 = X^5 + 2$
Ora qui avevo provato a sostituire x con tutti gli elementi di Z/5 cioè 0,1,2,3,4 nel seguente modo
[0]^5 + 2 = [2]mod 5
[1]^5 + 2 = [3]mod5
[2]^5 + 2 = [34]mod5 = [4]mod 5
[3]^5 + 2 = [245] mod 5 = [0]mod 5
[4]^5 + 2 = [1026] mod 5 = [1] mod 5
Poiche l' unico numero che mi dava [0]mod5 era 3 io pensavo che 3 fosse una radice e dividendo x^5 con x-3 il quoziente mi risultatava x^4 + x^3 + 3x^2 + 9x + 27, con il resto di 93. Qui mi ero bloccato, non sapevo più andare avanti. Mi sembrava molto strano il risultato, anche se a lezioni li abbiamo sempre fatti così ( cioè sostituendo ogni elemento della classe Z/p al polinomio)
Nel procedimento di lord k non capisco come ha fatto a sapere che 2 è una radice.
In C, dato che è di 5 grado sapevo che erano irriducibili solo i polinomi di 1 grado, quindi dato che questo è di 5 sapevo gia che era riducibile, ma non ho capito e, non ho capito tuttora, come si scompone.
Grazie!
"Lord K":
In [tex]\mathbb{Q}[x][/tex] hai che [tex]x^5+12[/tex] non è riducibile, poichè non esistono razionali [tex]q[/tex] tali che [tex]p(q)=0[/tex] (per esempio con Eisenstein).
attenzione nè tu nè giovannino87 dimostrate che quel polinomio è irriducibile:
il fatto che non abbia radici non lo prova assolutamente! il criterio di Eisenstein non afferma mica che se un polinomio non ha radici è irriducibile vi pare?
nel caso specifico poi è vero, ma non escludete ad esempio il caso che quel polinomio di quinto grado possa essere scritto come prodotto di due polinomi irriducibili di cui uno di grado 3 e l'altro di grado 2.
inoltre giovannino87 un consiglio:
per fare le potenze negli $ZZ_n$ non ti conviene fare i conti e poi ridurre, ma ridurre man mano.
ad esempio se devi fare $4^5$ in $ZZ_5$ fai così: $4*4=1$ in $ZZ_5$ da cui
$4^5=4*4*4*4*4=1*1*4=4$ (o se no ci sono teoremi a riguardo, ma non è il caso di scomodarli...)
"blackbishop13":
[quote="Lord K"]In [tex]\mathbb{Q}[x][/tex] hai che [tex]x^5+12[/tex] non è riducibile, poichè non esistono razionali [tex]q[/tex] tali che [tex]p(q)=0[/tex] (per esempio con Eisenstein).
attenzione nè tu nè giovannino87 dimostrate che quel polinomio è irriducibile:
il fatto che non abbia radici non lo prova assolutamente! il criterio di Eisenstein non afferma mica che se un polinomio non ha radici è irriducibile vi pare?
nel caso specifico poi è vero, ma non escludete ad esempio il caso che quel polinomio di quinto grado possa essere scritto come prodotto di due polinomi irriducibili di cui uno di grado 3 e l'altro di grado 2.
inoltre giovannino87 un consiglio:
per fare le potenze negli $ZZ_n$ non ti conviene fare i conti e poi ridurre, ma ridurre man mano.
ad esempio se devi fare $4^5$ in $ZZ_5$ fai così: $4*4=1$ in $ZZ_5$ da cui
$4^5=4*4*4*4*4=1*1*4=4$ (o se no ci sono teoremi a riguardo, ma non è il caso di scomodarli...)[/quote]
Grazie blackbishop13, quindi per vedere se un polinomio è irriducibile in Q[x] prima vedo quali possono essere le possibili radici ( prendendo i divisori del termine noto). Li sostituisco uno alla volta al polinomio, se nessuno mi da zero vuol dire che non ha radici.
Se un polinomio ha radici è sicuramente scomponibili.
Se un polinomio non ha radici potrebbe essere scomponibili oppure no ( se è valido il criterio di eisenstein il polinomio non è scomponibile).
Ora ho studiato il criterio di eisenstein da wikipedia http://it.wikipedia.org/wiki/Criterio_di_Eisenstein
Ho provato a cercare questo numero primo che verifica tutte e tre le ipotesi del criterio di eisenstein...
Ti faccio l' esempio con i primi 2 numeri primi:
- con 2. 2 non divide 15, quindi passo al successivo numero primo:
con 3 primo. 3 divide 15, 3 non divide 1 ( coefficiente di x^5), 3^2 divide 15, quindi dovrei passare al prossimo numero primo.. ma facendo con qualche altro successo numero primo non riesco che si verifichino queste 3 condizioni.
Ti prego di correggermi se ho sbagliato. Inoltre ho qualche dubbio sul fatto del dividere o non dividere. Ti faccio alcuni esempi, dimmi se sono corretti:
1 divide 3 ma 3 non divide 1.
4 divide 4.
8 divide 36 ma 36 non divide 8.
8 divide 24 e 24 divide 8.
Scusami se ho fatto domande banali, soprattutto all' ultimo, ma dato che sono banali il libro non le riporta neanche e non so se faccio errori
andiamo piano:
tu sai la definizione di "divide" ? prova a dirla, anche informale, ma non riesco a capire perchè pensi che 8 divida 36, e soprattutto perchè 24 divide 8. Secondo me stai facendo confusione, guarda che è lo stesso concetto di divisione che si impara alle elementari!
poi per il criterio di Eisenstein, se l'hai studiato lo dò per buono, non ci torno sopra, quindi ti dico che ti basta ovviamente trovare almeno un primo che soddisfi tutte le ipotesi, e il teorema è verificato, ovvero il polinomio è irriducibile.
ci sei?
adesso però è mooolto importante che capisci con chiarezza il concetto di divide.
tu sai la definizione di "divide" ? prova a dirla, anche informale, ma non riesco a capire perchè pensi che 8 divida 36, e soprattutto perchè 24 divide 8. Secondo me stai facendo confusione, guarda che è lo stesso concetto di divisione che si impara alle elementari!
poi per il criterio di Eisenstein, se l'hai studiato lo dò per buono, non ci torno sopra, quindi ti dico che ti basta ovviamente trovare almeno un primo che soddisfi tutte le ipotesi, e il teorema è verificato, ovvero il polinomio è irriducibile.
ci sei?
adesso però è mooolto importante che capisci con chiarezza il concetto di divide.
Io pensavo che il concetto di dividere in matematica discreta si riferisse in qualche modo al massimo comune divisore.
Se cosi non è, ma è quello usuale non capisco allora perchè 24 non divide 8. 24/8 = 3
Questo dubbio ( il fatto di dividere/ non dividere) me lo porto dietro dall' algoritmo euclideo, poi per fortuna nei gruppi non c'era ma me lo sono trovato adesso nei polinomi quindi ti chiedo se puoi chiarirmi questa mia GROSSA lacuna
Mi vergogno anche a chiedere queste cose, ma spero almeno ti farai qualche risata
Grazie!
ps: non avevo neanche mai capito perchè 1 dividesse 3 perchè 1/3 = 0,33 periodico. Però facendo esercizi avevo notato che 1 / qualsiasi numero lo divide mentre qualsiasi numero diviso 1 non lo divido. Ammetto nuovamente la mia ignoranza.
Se cosi non è, ma è quello usuale non capisco allora perchè 24 non divide 8. 24/8 = 3
Questo dubbio ( il fatto di dividere/ non dividere) me lo porto dietro dall' algoritmo euclideo, poi per fortuna nei gruppi non c'era ma me lo sono trovato adesso nei polinomi quindi ti chiedo se puoi chiarirmi questa mia GROSSA lacuna
Mi vergogno anche a chiedere queste cose, ma spero almeno ti farai qualche risata
Grazie!
ps: non avevo neanche mai capito perchè 1 dividesse 3 perchè 1/3 = 0,33 periodico. Però facendo esercizi avevo notato che 1 / qualsiasi numero lo divide mentre qualsiasi numero diviso 1 non lo divido. Ammetto nuovamente la mia ignoranza.
devi fare il contrario.
$24/8=3$ quindi 8 divide 24, prova a riflettere sul verbo dividere.
1 divide qualunque numero, anche 3, infatti $3/1=3$.
ti basta prendere un libro e cercare la definizione di divide:
$a$ divide $b$ se $EE c $ tale che $b=a*c$
ovvero $b/c=a$.
$24/8=3$ quindi 8 divide 24, prova a riflettere sul verbo dividere.
1 divide qualunque numero, anche 3, infatti $3/1=3$.
ti basta prendere un libro e cercare la definizione di divide:
$a$ divide $b$ se $EE c $ tale che $b=a*c$
ovvero $b/c=a$.
Ovviamente il nostro c dovrà appartenere agli interi giusto? senò potrei dividere tutti i numeri...
Quindi negli esempi che ti ho postato prima:
8 non divide 36 perchè 36/8= 4,5 perchè non è un intero, mentre 8 divide 24 perchè 24/8= 3
Adesso che ho capito finalmente il significato della parola dividere (
) provo con i primi 10 numeri primi a vedere se si verifica il criterio di Eisenstein.
Grazie mille per la pazienza
Edit: ritornando al polinomio x^5 + 12
Ho provato con i seguenti numeri primi: 2,3
2) 2 non divide 1, 2 divide 12, 4 divide 12
3) 3 non divide 1, 3 divide 12, 9 non divide 12. Quindi dato che si verificano tutte e 3 le condizioni posso concludere che il polinomio è irriducibile in Q[X]. ( vale solo per questo campo questo criterio?)
ma se per caso il polinomio non aveva radici e non riuscivo a trovare un numero primo che soddisfasse il criterio di Eisenstein come potevo procedere per stabilire la riducibilità o meno del polinomio?
Quindi negli esempi che ti ho postato prima:
8 non divide 36 perchè 36/8= 4,5 perchè non è un intero, mentre 8 divide 24 perchè 24/8= 3
Adesso che ho capito finalmente il significato della parola dividere (
) provo con i primi 10 numeri primi a vedere se si verifica il criterio di Eisenstein.Grazie mille per la pazienza
Edit: ritornando al polinomio x^5 + 12
Ho provato con i seguenti numeri primi: 2,3
2) 2 non divide 1, 2 divide 12, 4 divide 12
3) 3 non divide 1, 3 divide 12, 9 non divide 12. Quindi dato che si verificano tutte e 3 le condizioni posso concludere che il polinomio è irriducibile in Q[X]. ( vale solo per questo campo questo criterio?)
ma se per caso il polinomio non aveva radici e non riuscivo a trovare un numero primo che soddisfasse il criterio di Eisenstein come potevo procedere per stabilire la riducibilità o meno del polinomio?
"blackbishop13":
[quote="Lord K"]In [tex]\mathbb{Q}[x][/tex] hai che [tex]x^5+12[/tex] non è riducibile, poichè non esistono razionali [tex]q[/tex] tali che [tex]p(q)=0[/tex] (per esempio con Eisenstein).
attenzione nè tu nè giovannino87 dimostrate che quel polinomio è irriducibile:
il fatto che non abbia radici non lo prova assolutamente! il criterio di Eisenstein non afferma mica che se un polinomio non ha radici è irriducibile vi pare?[/quote]
Hai pienamente ragione, ma tendo a non voler risolvere il problema completamente e dare solo degli hint per la risoluzione, qui il criterio di Eisenstein era slegato dal resto del discorso
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